Limite con forma indeterminata

[Giobbo89]

Ciao a tutti.
Facendo esercizi mi sono imbattuto in un particolare limite:

$\lim_{x \to \0^+}(e^x-cosx)/(sin^2xlnx)$

Facendo vari passaggi (credo corretti) tramite l'utilizzo di equivalenze asintotiche e sviluppi di Taylor, e successivamente di semplici semplificazioni giungo a questo limite:

$\lim_{x \to \0^+}1/(xlnx)$

Dovrebbe risultare $\-infty$, ma non riesco a capire come arrivarci.
Ho provato a spezzare in due il limite, avendo quindi:

$\lim_{x \to \0^+}1/(x) * lim_{x \to \0^+}1/(lnx) = infty * -infty$

E quindi non so come completare l'esercizio.
Credo che la parte "difficile" io l'abbia fatta e mi stia perdendo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a venirne a capo.
Grazie a chiunque vorrà illuminarmi.

[axpgn]

Quella non è una forma indeterminata ... più per meno fa meno ...
Però è sbagliata quella semplificazione ...

[quantunquemente]

"Giobbo89":Ciao a tutti.
Facendo esercizi mi sono imbattuto in un particolare limite:

$ \lim_{x \to \0^+}(e^x-cosx)/(sin^2xlnx) $

Facendo vari passaggi (credo corretti) tramite l'utilizzo di equivalenze asintotiche e sviluppi di Taylor, e successivamente di semplici semplificazioni giungo a questo limite:

$ \lim_{x \to \0^+}1/(xlnx) $

Dovrebbe risultare $ \-infty $, ma non riesco a capire come arrivarci.
Ho provato a spezzare in due il limite, avendo quindi:

$ \lim_{x \to \0^+}1/(x) * lim_{x \to \0^+}1/(lnx) = infty * -infty $

E quindi non so come completare l'esercizio.
Credo che la parte "difficile" io l'abbia fatta e mi stia perdendo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a venirne a capo.
Grazie a chiunque vorrà illuminarmi.

$ lim_(x -> 0^+) xlnx $ è uno di quei limiti che so risolvere solo con de L'Hopital :
$ lim_(x -> 0^+) (lnx)/x^-1 $

[Giobbo89]

"axpgn":Quella non è una forma indeterminata ... più per meno fa meno ...
Però è sbagliata quella semplificazione ...

Che pistola che sono.
Ieri si vede che ero stanco morto. La moltiplicazione di due infiniti non è una forma indeterminata.
Per quanto riguarda la semplificazione, non credo sia sbagliata (tra l'altro il risultato mi risulta corretto, $\-infty$).
Ti riporto i passaggi principali:
$ \lim_{x \to \0^+}(e^x-cosx)/((sinx)^2lnx) $

Per $ \x \to \0^+ $ si ha che:
$ e^x \to 1+x $
$ cosx \to 1-x^2/2 $
$ sinx \to x $

(la freccina non è il simbolo giusto, ma non so come fare il simbolo corretto).
Quindi, sostituendo, si ha:
$ \lim_{x \to \0^+}(1+x-(1-x^2/2))/(x^2lnx) = (x+x^2/2)/(x^2lnx) = x/(x^2lnx) = 1/(xlnx) $

E siamo arrivati alla forma che genera il mio (stupido) dubbio.
EDIT: o ti riferisci allo spezzare l'ultimo limite? Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti no?

[quantunquemente]

"Giobbo89":E siamo arrivati alla forma che genera il mio (stupido) dubbio

che ho consigliato di risolvere con De L'Hopital

[axpgn]

"Giobbo89":EDIT: o ti riferisci allo spezzare l'ultimo limite? Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti no?

Certo che si può spezzare ma non sono due infiniti ...

[Giobbo89]

"axpgn":[quote="Giobbo89"]EDIT: o ti riferisci allo spezzare l'ultimo limite? Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti no?

Certo che si può spezzare ma non sono due infiniti ... [/quote]

Eh già, sono un pistola.
Il limite con il logaritmo al denominatore non fa $\-infty$.
Quindi, come ha scritto quantuquemente (grazie!), l'unico modo di procedere è con De l'Hopital. Oppure ve ne sono altri più "immediati"?

[axpgn]

Se non ci riesce quantuquemente, difficile che ve ne siano di più immediati ...

Cordialmente, Alex

[quantunquemente]

grazie alex
a parte gli scherzi,con De L'Hopital è immediato
$ lim_(x -> 0^+) xlnx=lim_(x -> 0^+)(lnx)/x^-1=lim_(x -> 0^+)x^-1/(-x^(-2))=0^- $