Limite con forma indeterminata $0 \cdot \infty$

[francyiato]

Salve, ho svolto questo limite notevole:

\[

\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (1+e^x)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]

\]

Aiutato anche da alcuni passaggi presenti nelle soluzioni, l'ho svolto in questo modo:

$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x(1+e^{-x}))\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x)+ \ln(1+e^{-x})\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

$\lim_{x\to +\infty} \left[x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

A questo punto utilizzo le frazioni di frazioni per riscrivere il limite e poter applicare de l'Hôpital:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1$

Vorrei sapere innanzitutto se tutti i passaggi sono corretti e se ci sono altri modi per risolverlo perché per quanto mi riguarda questo passaggio:

$\lim_{x\to +\infty} \left[\ln (e^x)+ \ln(1+e^{-x})\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$

non è molto immediato, non se sia dovuto al poco esercizio. Grazie mille e buona serata.

[Bokonon]

$ln(1+e^x)ln(1+1/x)=ln(1+e^x)ln[(1+1/x)^(x/x)]=ln(1+e^x)/xln[(1+1/x)^x]=ln(1+e^x)/ln(e^x)ln[(1+1/x)^x]$

$lim_(x->oo) ln(1+e^x)/ln(e^x)ln[(1+1/x)^x]=1*ln(e)=1$

[francyiato]

Molto interessante come risoluzione! Spero di raggiungere anche io una tale padronanza dei limiti notevoli