Limite con fattoriali e esponenziali

[RuCoLa1]

Buongiorno,
ho trovato questo limite che non riesco a risolvere : $lim_{n->oo} ((n!)^(2n))/((2^n)!)$ . Ho pensato di considerare la serie descritta dalla funzione data e mostrare che converge con il criterio del rapporto o radice e che ciò implicasse che il limite dato fosse $0$ ma non ho ottenuto buoni risultati. Qualcuno può gentilmente aiutarmi?
Grazie

[RuCoLa1]

Ho trovato una soluzione ma sono sicuro che ce ne sia una più diretta :

Considero la serie $\sum_{k = 0}^oo (n!)^(2n)/((2^n)!)$ e dimostro che converge perchè ciò implicherebbe che il limite della funzione per $n -> oo$ sia 0.
$ lim_{n -> oo} (n!)^(2n)/((2^n)!) < lim_{n->oo} (n^n)^(2n)/((2^n)!) = lim_{n->oo} (n)^(2n^2)/((2^n)!) = lim_{n->oo} e^(2n^2ln(n))/((2^n)!)$
Applico il criterio del rapporto $lim_{n->oo} (e^(2(n+1)^2 ln(n+1))/((2^(n+1))! )*((2^n)!) /e^(2n^2 ln(n))) = lim_{n->oo} (e^(2n^2ln(n+1))/(e^(2n^2ln(n))) * e^((4n + 2)ln(n+1)) * ((2^n)!) / ((2^(n+1))!)) = lim_{n->oo} e^((4n + 2)ln(n+1)) * ((2^n)!) / ((2^(n+1))!)$
A questo punto so che $ ((2^(n+1))!)/ ((2^(n))!) > 2^(n*2^n) > 2^(n^2)$ infatti $((2^(n+1))!)/ ((2^(n))!) = (2^n +1)(2^n + 2)...(2^(n+1))$ e sono esattamente $2^n$ fattori quindi $(2^n +1)(2^n + 2)...(2^(n+1)) > 2^(n * 2^n) > 2^(n^2)$
Quindi:
$lim_{n->oo} e^((4n + 2)ln(n+1)) * ((2^n)!) / ((2^(n+1))!) < lim_{n->oo} e^((4n + 2)ln(n+1))/ ((2^(n^2)))= lim_{n->oo} e^((4n + 2)ln(n+1))/ (e^(n^2ln(2))) = 0$ .
Dato che il limite è < 1 la serie converge e il limite iniziale è $0$

Qualcuno può confermare che sia corretto? C'è una strada più diretta?
Grazie

[Bremen000]

Prova con Stirling:

$$ n! \sim \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}$$