Limite con fattoriali
Buongiorno,
tra i vari esercizi non mi era mai capitato di dover risolvere un limite come il seguente con i fattoriali e sono un po' spiazzato, non è che potreste dirmi come approcciarlo, magari i primi passaggi così il resto faccio da solo, grazie.
$ lim_(x -> oo)(x+1)![(1+1/(x!))^(1/x)-1] $
tra i vari esercizi non mi era mai capitato di dover risolvere un limite come il seguente con i fattoriali e sono un po' spiazzato, non è che potreste dirmi come approcciarlo, magari i primi passaggi così il resto faccio da solo, grazie.
$ lim_(x -> oo)(x+1)![(1+1/(x!))^(1/x)-1] $
Risposte
\(x\in\mathbb{N}\)?
Forse scritta così non ci si confonde tra discreto e continuo
$\lim_{n \rightarrow +\infty} (n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1]$
La prima cosa che mi viene in mente è moltiplicare e dividere per $(1+\frac{1}{n!})^((n-1)/n)+(1+\frac{1}{n!})^((n-2)/n) \cdots +1$, cioè usando il prodotto notevole $a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+....+ab^(n-2)+1)$
$\lim_{n \rightarrow +\infty} (n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1]$
La prima cosa che mi viene in mente è moltiplicare e dividere per $(1+\frac{1}{n!})^((n-1)/n)+(1+\frac{1}{n!})^((n-2)/n) \cdots +1$, cioè usando il prodotto notevole $a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+....+ab^(n-2)+1)$
Ti vuoi proprio complicare la vita 
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![(1+(1/(n!)))^(((n!)/(n!))*(1/n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![e^(1/(n!n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)n!*1/(n!n)$
$\lim_{n \to \infty}(n+1)*1/n$
$l=1$
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![(1+(1/(n!)))^(((n!)/(n!))*(1/n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![e^(1/(n!n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)n!*1/(n!n)$
$\lim_{n \to \infty}(n+1)*1/n$
$l=1$
@Anacleto
Non puoi svolgere prima un limite poi l'altro perché se così fosse allora $\lim_{n \rightarrow +\infty} (1+1/n)^n=\lim_{n \rightarrow +\infty} 1^n=1$
Però l'idea potrebbe essere buona...
Non puoi svolgere prima un limite poi l'altro perché se così fosse allora $\lim_{n \rightarrow +\infty} (1+1/n)^n=\lim_{n \rightarrow +\infty} 1^n=1$
Però l'idea potrebbe essere buona...
Grazie mille Anacleto13, il risultato è proprio quello!
"dan95":
@Anacleto
Non puoi svolgere prima un limite poi l'altro perché se così fosse allora $\lim_{n \rightarrow +\infty} (1+1/n)^n=\lim_{n \rightarrow +\infty} 1^n=1$
Però l'idea potrebbe essere buona...
Sinceramente non ho capito cosa intendi..
Hai calcolato il limite prima per il termine $(1+\frac{1}{n!})^(n!)$ poi hai svolto il resto del limite e questo non si può fare..
Il risultato è venuto per caso
Il risultato è venuto per caso
Con $\lim_{n \rightarrow +\infty} (1+1/n)^n=\lim 1^n=1$ ti ho fatto un esempio di come questo passaggio errato possa portare ad un risultato sbagliato.
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$ $=$ $e$
e non 1 come dici te...
e non 1 come dici te...
Appunto...ho applicato lo stesso procedimento (sbagliato) che hai applicato tu al limite $\lim [(1+\frac{1}{n!})^{n!}]^{\frac{1}{n!n}}$ e come vedi mi ha portato ad un risultato sbagliato cioè 1...
Dan95 ha ragione, questo passaggio è formalmente sbagliato, va giustificato meglio:
Stai implicitamente scrivendo questo: \(\lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}}\) e non ha senso, perché il risultato di un limite non può dipendere da \(n\).
Affinché il procedimento sia corretto, devi scrivere
\[\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}} +\text{errore}\]
e dimostrare che l'errore è un o-piccolo di \(\frac{1}{(n+1)!}\). (EDIT: O un'altra stima dell'errore. Forse è più semplice fare un ragionamento di asintotici, visto che
\[\frac{\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}}{e^{\frac{1}{n!n}}}\to 1\]
Non so. C'è da lavorarci un pochino)
"Anacleto13":
Ti vuoi proprio complicare la vita
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![(1+(1/(n!)))^(((n!)/(n!))*(1/n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![e^(1/(n!n))-1]$
Stai implicitamente scrivendo questo: \(\lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}}\) e non ha senso, perché il risultato di un limite non può dipendere da \(n\).
Affinché il procedimento sia corretto, devi scrivere
\[\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}} +\text{errore}\]
e dimostrare che l'errore è un o-piccolo di \(\frac{1}{(n+1)!}\). (EDIT: O un'altra stima dell'errore. Forse è più semplice fare un ragionamento di asintotici, visto che
\[\frac{\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}}{e^{\frac{1}{n!n}}}\to 1\]
Non so. C'è da lavorarci un pochino)
Mettiamo in pace tutti con questo procedimento...
Possiamo maggiorare (seguendo l'idea di Anacleto) in questo modo
$(n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1] < (n+1)!(e^{\frac{1}{n!n}}-1)$
e minorare (seguendo la mia idea) consideraziondo che
$\sum_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{n!})^{\frac{n-i}{n}} < n(1+\frac{1}{n!})$
quindi
$(n+1)!\frac{1}{n!}\frac{1}{n(1+\frac{1}{n!})}<(n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1]<(n+1)!(e^{\frac{1}{n!n}}-1)$
Possiamo maggiorare (seguendo l'idea di Anacleto) in questo modo
$(n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1] < (n+1)!(e^{\frac{1}{n!n}}-1)$
e minorare (seguendo la mia idea) consideraziondo che
$\sum_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{n!})^{\frac{n-i}{n}} < n(1+\frac{1}{n!})$
quindi
$(n+1)!\frac{1}{n!}\frac{1}{n(1+\frac{1}{n!})}<(n+1)![(1+\frac{1}{n!})^{1/n}-1]<(n+1)!(e^{\frac{1}{n!n}}-1)$
"dissonance":
Dan95 ha ragione, questo passaggio è formalmente sbagliato, va giustificato meglio:
[quote="Anacleto13"]Ti vuoi proprio complicare la vita
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![(1+(1/(n!)))^(((n!)/(n!))*(1/n))-1]$
Limite notevole
$\lim_{n \to \infty}(n+1)![e^(1/(n!n))-1]$
Stai implicitamente scrivendo questo: \(\lim_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}}\) e non ha senso, perché il risultato di un limite non può dipendere da \(n\).
Affinché il procedimento sia corretto, devi scrivere
\[\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}= e^{\frac{1}{n!n}} +\text{errore}\]
e dimostrare che l'errore è un o-piccolo di \(\frac{1}{(n+1)!}\). (EDIT: O un'altra stima dell'errore. Forse è più semplice fare un ragionamento di asintotici, visto che
\[\frac{\left( 1+ \frac{1}{n!}\right)^\frac{1}{n}}{e^{\frac{1}{n!n}}}\to 1\]
Non so. C'è da lavorarci un pochino)[/quote]
Ah ora ho capito cosa intendeva dan.. comunque io stavo usando le equivalenze asintotiche..mi ero espresso male, per questo tenevo n
Grazie per il chiarimento
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