Limite con fattoriale
Ciao a tutti, sto studiando la convergenza della serie $\sum_{n=0}^(\+infty) (1/3)^(n!)$.
Ho provato il criterio della radice e ottengo $\lim_{n \to \+infty}(1/3)^((n-1)!)$ e poi mi blocco. La soluzione mi dice che questo limite fa $0$, perchè?
Con il criterio del rapporto ottengo invece $\lim_{n \to \+infty}(1/3)^((n!)n)$ e li mi blocco. Anche questo limite fa $0$. Perchè?
Non si può "svolgere" questa serie tenendo conto che $\sum_{n=0}^(\infty) q^n$ converge se $-1 Grazie
Ho provato il criterio della radice e ottengo $\lim_{n \to \+infty}(1/3)^((n-1)!)$ e poi mi blocco. La soluzione mi dice che questo limite fa $0$, perchè?
Con il criterio del rapporto ottengo invece $\lim_{n \to \+infty}(1/3)^((n!)n)$ e li mi blocco. Anche questo limite fa $0$. Perchè?
Non si può "svolgere" questa serie tenendo conto che $\sum_{n=0}^(\infty) q^n$ converge se $-1 Grazie
Risposte
Se ho capito bene, tu useresti quindi la serie geometrica come serie asintotica alla tua in modo da dire che ha lo stesso carattere, giusto? Se è così non si può fare, purtroppo, perché gli asintotici non funzionano con gli esponenziali... infatti: $lim_(n to +infty)(1/3)^{n!}3^n = lim_(nto + infty)(1/3)^{(n-1)!}=0$ il limite vale zero perché la base dell'esponenziale è $1/3<1$ e quindi all'infinito diventa sempre più piccola; le due successioni non sono asintotiche quindi.
D'altro canto ho appena svolto lo stesso limite del criterio della radice, quindi adesso sai perché converge
Puoi anche usare la serie geometrica come maggiorante:
definitivamente $(1/3)^{n!}≤(1/3)^n$ la cui serie converge, come dicevi tu!
D'altro canto ho appena svolto lo stesso limite del criterio della radice, quindi adesso sai perché converge
Puoi anche usare la serie geometrica come maggiorante:
definitivamente $(1/3)^{n!}≤(1/3)^n$ la cui serie converge, come dicevi tu!
Perfetto! Ho capito, grazie!
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