Limite con fattoriale

[alessio98alessio]

Buongiorno a tutti,

Devo definire se la seguente serie diverge o converge, quindi devo trovare il limite del rapporto fra An+1 e An.

1) $ sum_(n=1)^oo (2^(3n)(n-1)!)/(n+1)^n $

2) $ lim_(n->oo) (2^(3(n+1))(n+1-1)!(n+1)^n)/((n+1+1)^(n+1)2^(3n)(n-1)!) $

3) Dopo aver semplificato il 2 e il fattoriale ottengo:
$ lim_(n->oo) (2^3n(n+1)^n)/((n+2)^(n+1)) $

4) Che e' uguale a:
$ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 (n+1)^n/((n+2)^n ) $

5) $ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 = 8 $


Sapresti dirmi se e' corretto?



6) $ lim_(n->oo)(n+1)^n/((n+2)^n ) = lim_(n->oo)[(1+1/(n+1))^(n+1)]^(-n/(n+1))=e^-1 $

7)Quindi:
$ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 (n+1)^n/((n+2)^n ) = 8/e $

[Mephlip]

Corretto. Quindi la serie è...?

[pilloeffe]

Ciao Alesisio98,

Benvenuto sul forum!

"Alesisio98":Devo definire se la seguente serie diverge o converge, quindi devo trovare il limite del rapporto fra An+1 e An.

In realtà è comodo e va bene, ma non è strettamente necessario perché si potrebbe anche osservare che la serie proposta è a termini positivi e $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0 $, quindi...

[dissonance]

"Alesisio98":
Devo definire se la seguente serie diverge o converge,

Non devi definire proprio niente. Devi STABILIRE se la serie converge o diverge. Non usare le parole a capocchia.