Limite con esponenziali e logartimi
Salve ragazzi,
sto cercando di svolgere questo limite, ma non riesco ad ottenere la soluzione corretta.
$ lim xrarr+oo (\sqrt(x(2^x)+4^(x))-e^(x\ln2))/(e^((1)/(x))+x(\ln2)-\ln x) $
Dato che è una forma indeterminata come primo passaggio ho razionalizzato il numeratore.
Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.
Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Infinite grazie
sto cercando di svolgere questo limite, ma non riesco ad ottenere la soluzione corretta.
$ lim xrarr+oo (\sqrt(x(2^x)+4^(x))-e^(x\ln2))/(e^((1)/(x))+x(\ln2)-\ln x) $
Dato che è una forma indeterminata come primo passaggio ho razionalizzato il numeratore.
Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.
Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Infinite grazie
Risposte
Ciao! Che tecniche conosci? Puoi usare gli sviluppi in serie di Taylor o almeno il limite notevole della radice?
Comunque questo che dici è corretto:
Attenzione invece quando dici:
Devi raccogliere gli infiniti di ordine maggiore, non gli infinitesimi, perché il limite è della forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ e dunque stai confrontando infiniti al numeratore e al denominatore.
Inoltre, ora che mi sono fatto due calcoli, in effetti la razionalizzazione del numeratore basta ed avanza per calcolare questo limite e non è neanche laboriosa con i conti, quindi la tua idea era buona.
Quindi forse ci sono solo degli errori di calcolo, magari scrivili così li controlliamo insieme!
Comunque questo che dici è corretto:
"fr_car":
Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.
Attenzione invece quando dici:
"fr_car":
Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.
Devi raccogliere gli infiniti di ordine maggiore, non gli infinitesimi, perché il limite è della forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ e dunque stai confrontando infiniti al numeratore e al denominatore.
Inoltre, ora che mi sono fatto due calcoli, in effetti la razionalizzazione del numeratore basta ed avanza per calcolare questo limite e non è neanche laboriosa con i conti, quindi la tua idea era buona.
Quindi forse ci sono solo degli errori di calcolo, magari scrivili così li controlliamo insieme!
"Mephlip":
Ciao! Che tecniche conosci? Puoi usare gli sviluppi in serie di Taylor o almeno il limite notevole della radice?
Comunque questo che dici è corretto:
[quote="fr_car"]Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.
Attenzione invece quando dici:
"fr_car":
Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.
Devi raccogliere gli infiniti di ordine maggiore, non gli infinitesimi, perché il limite è della forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ e dunque stai confrontando infiniti al numeratore e al denominatore.
Inoltre, ora che mi sono fatto due calcoli, in effetti la razionalizzazione del numeratore basta ed avanza per calcolare questo limite e non è neanche laboriosa con i conti, quindi la tua idea era buona.
Quindi forse ci sono solo degli errori di calcolo, magari scrivili così li controlliamo insieme![/quote]
Si scusami, volevo dire infiniti, con la prova che avevo fatto sostituendo x=1/t ero in ottica infinitesimi.
$ lim xrarr+oo \(sqrt((x(2^x)+4^(x)))-e^(x\ln 2))/(e^((1)/(x))+x(\ln 2)-\ln x)*\(sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2))/(\sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2))= $
$ lim xrarr+oo (x(2^x)+2^(2x)-(e^(x\ln 2))^2)/((e^(1/x)+xln(2)-lnx)*(sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2)))= $
$ lim xrarr+oo (x*2^x)/(e^(1/x)(1+ln2^x/e^(1/x)-lnx/e^(1/x))*2^(x)(sqrt(1+x/2
^x) + 1)) $
Fino a qui direi che ci siamo giusto?
Ciao fr_car,
Benvenuto sul forum!
Direi di no...
Innanzitutto $x$ è improvvisamente diventata $n$, ma questo è un peccato veniale; poi ci sono due errori di segno (un $+$ che è diventato un $- $ ed un $-$ che è diventato un $+$) e l'ultima cosa che hai fatto che proprio non può aiutarti a risolvere il limite proposto è raccogliere $e^{1/x} $, dato che $\lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = 1$
Ti correggo il passaggio e poi vediamo se riesci ad andare avanti:
$ \lim_{x \to +\infty} (x \cdot 2^x)/((e^{1/x} + ln2^x - lnx) 2^x (sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) = \lim_{x \to +\infty} (x)/((e^(1/x) + x ln2 - lnx)(sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) $
Benvenuto sul forum!
"fr_car":
$ \lim xrarr+oo (x*2^x)/(e^(1/x)(1-ln2^x/e^(1/x)+lnx/e^(1/x))*2^(x)(sqrt(1+n/2 ^n) + 1)) $
Fino a qui direi che ci siamo giusto?
Direi di no...
Innanzitutto $x$ è improvvisamente diventata $n$, ma questo è un peccato veniale; poi ci sono due errori di segno (un $+$ che è diventato un $- $ ed un $-$ che è diventato un $+$) e l'ultima cosa che hai fatto che proprio non può aiutarti a risolvere il limite proposto è raccogliere $e^{1/x} $, dato che $\lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = 1$
Ti correggo il passaggio e poi vediamo se riesci ad andare avanti:
$ \lim_{x \to +\infty} (x \cdot 2^x)/((e^{1/x} + ln2^x - lnx) 2^x (sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) = \lim_{x \to +\infty} (x)/((e^(1/x) + x ln2 - lnx)(sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) $
Si purtroppo è stata approvata la prima risposta che avevo mandato di cui mi ero accorto degli errori. Mi sono reso conto successivamente che raccogliere e^(1/x) era sbagliato ma bisognava raccogliere ln2^x e andare avanti. Si riduce tutto a 1/ln2 *2 = 1/ln4
Grazie mille a tutti per l'aiuto!
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