Limite con esponenziali

[lore_f00]

Buongiorno, mi sto esercitando sui temi del secondo parziale di analisi 1 che dovrò affrontare. E mi sono imbattuto in questo limite che non riesco a calcolare. Stando a wolfram alpha il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle sqrt(e) \)

[Studente Anonimo]

Si può riscrivere come
[tex]\lim_{x \to +\infty} \left( 1-\frac{1}{x^2} \right)^{x^3} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x^2}[/tex].
Prova a prendere il logaritmo naturale e ad applicare lo sviluppo in serie [tex]log(1+t) \sim t-t^2/2[/tex] quando $t to 0$.
Dovrebbe venirti [tex]\frac{1}{\sqrt{e}}[/tex].

[lore_f00]

"Martino":Si può riscrivere come
[tex]\lim_{x \to +\infty} \left( 1-\frac{1}{x^2} \right)^{x^3} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x^2}[/tex].
Prova a prendere il logaritmo naturale e ad applicare lo sviluppo in serie [tex]log(1+t) \sim t-t^2/2[/tex] quando $t to 0$.
Dovrebbe venirti [tex]\frac{1}{\sqrt{e}}[/tex].

Grazie per la risposta e scusa se io rispondo solo ora. In alternativa agli sviluppi in serie, si può provare ad utilizzare il teorema di de l'Hopital, mettendo sotto lo stesso esponente denominatore e numeratore? Oppure rischia di diventare troppo complessa la cosa?

[Studente Anonimo]

Sì con de l'Hopital ottieni lo stesso risultato, prova.