Limite con esponenziali
Ciao a tutti,non riesco a capire la metodologia da usare per questo esercizio:
Lim x-> inf di $ (e^(x+1)+ e^(x/2)- x^2) / (e^(x-1) - e^(x/2)) $
Il denominatore si riesce a scomporre in $ e^(x/2) × [ e^(x-1-x/2)-1] $ e col criterio asintotico dovrebbe venire $ e^(x/2) × ((x-2)/2) $
Al numeratore invece non so proprio che fare, se non raccogliere x^2 e eliminare i 2 esponenziali...boh
Ringrazio in anticipo chi mi sapra' e avra' voglio di darmi una mano!
Lim x-> inf di $ (e^(x+1)+ e^(x/2)- x^2) / (e^(x-1) - e^(x/2)) $
Il denominatore si riesce a scomporre in $ e^(x/2) × [ e^(x-1-x/2)-1] $ e col criterio asintotico dovrebbe venire $ e^(x/2) × ((x-2)/2) $
Al numeratore invece non so proprio che fare, se non raccogliere x^2 e eliminare i 2 esponenziali...boh
Ringrazio in anticipo chi mi sapra' e avra' voglio di darmi una mano!
Risposte
La risoluzione da te proposta non è corretta, perchè, definitivamente, $ e^{\frac{x}{2}} < e^{x \pm 1} $. Ti consiglio di procedere così:
Dividi numeratore e denominatore per $ e^{x -1} $ (che è l'equivalente di raccoglierlo sia nel numeratore che nel denominatore):
\[ \lim_{x \to +\infty} {\frac{e^{ x + 1 - x +1} + e^{\frac{x}{2} - x +1} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - e^{\frac{x}{2} - x +1}}} = \lim_{x \to + \infty} {\frac{e^2 + e^{-\frac{x}{2} +1} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - e^{- \frac {x}{2} +1}}} = \lim_{x \to + \infty} {\frac{e^2 + \frac{1}{e^{\frac{x}{2} -1}} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - \frac{1}{e^{ \frac {x}{2} -1}}}} = e^2 \]
Dividi numeratore e denominatore per $ e^{x -1} $ (che è l'equivalente di raccoglierlo sia nel numeratore che nel denominatore):
\[ \lim_{x \to +\infty} {\frac{e^{ x + 1 - x +1} + e^{\frac{x}{2} - x +1} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - e^{\frac{x}{2} - x +1}}} = \lim_{x \to + \infty} {\frac{e^2 + e^{-\frac{x}{2} +1} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - e^{- \frac {x}{2} +1}}} = \lim_{x \to + \infty} {\frac{e^2 + \frac{1}{e^{\frac{x}{2} -1}} - \frac{x^2}{e^{x-1}}}{1 - \frac{1}{e^{ \frac {x}{2} -1}}}} = e^2 \]
Ok, visto cosi' è una cavolata, ma da solo non ci sarei mai arrivato a fare un magheggio simile...grazie per l'aiuto !
Beh, non serve per forza il magheggio. Ci si può arrivare, con non grande differenza di numero di passaggi, anche seguendo la regola generale quando si ha a che fare con il limite per $x \to +\infty$ di un rapporto, ovvero raccogliere il termine con l'infinito di grado più alto. Come sappiamo, $ e^x$ è di ordine superiore rispetto a $x^\alpha$, con [tex]\alpha \in \mathbb {R}[/tex]. Quindi raccogliamo per $e^x$ sia nel numeratore che nel denominatore:
\[ \lim_{x \to + \infty} {\frac{\cancel{e^x} \left ( e + e^{- \frac{x}{2}} - \frac{x^2}{e^x} \right ) }{ \cancel{e^x} \left ( e^{-1} - e^{-\frac{x}{2}} \right ) }} = \frac{e}{e^{-1}} = e^2 \]
\[ \lim_{x \to + \infty} {\frac{\cancel{e^x} \left ( e + e^{- \frac{x}{2}} - \frac{x^2}{e^x} \right ) }{ \cancel{e^x} \left ( e^{-1} - e^{-\frac{x}{2}} \right ) }} = \frac{e}{e^{-1}} = e^2 \]
Si forse nel secondo caso è piu' intuitiva la cosa, credo che usero' sempre la regola generale in questi casi, che non sono ancora cosi esperto da notare subito i trucchetti da applicare...grazie ancora per l'aiuto !
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