Limite con esponenziale

[ravanello2]

Ciao ragazzi, è la prima volta che scrivo anche se vi leggo da un po' e vi trovo davvero molto utili soprattutto per chi è alle prime armi come me.
Sono iscritto ad architettura e sto affrontando l'esame di Matematica: la materia mi è abbastanza ostica, per dire che ci capisco poco (il nick non è casuale....).

Sto affrontando i limiti di funzione e mi trovo questo esercizio:

$lim_(x->0-) (x-x^2)*exp(-1/(x^2*(x^2-1)))$

Intuisco che il risultato è $\-infty$ però sono di fronte ad una forma di indeterminazione $\0*infty$ e non so come liberarmene: ho provato con e elevato a $\log(x-x^2)$ ma ritorno all'indeterminazione e anche svolgendo il prodotto torno al punto di partenza.

Qualcuno può aiutarmi?

Grazie in anticipo.

[Palliit]

Ciao. Hai già visto il teorema di De L'Hopital ? Se sì, dopo aver dato una bella ripulita alla funzione potresti provare.

[ravanello2]

Ciao Palliit,
no quel teorema non l'ho ancora fatto, dai ricordi liceali viene dopo le derivate giusto?

[Palliit]

Eh sì... dovresti esporre i metodi che hai a disposizione, se vuoi avere qualche aiuto.

[ravanello2]

Finora ho utilizzato per risolvere i limiti i teoremi di confronto, l'algebra dei limiti, i limiti notevoli e gli sviluppi di McLaurin.

[Plepp]

"ravanello":Intuisco che il risultato è $\-infty$ però sono di fronte ad una forma di indeterminazione $\0*infty$ e non so come liberarmene: ho provato con e elevato a $\log(x-x^2)$ ma ritorno all'indeterminazione e anche svolgendo il prodotto torno al punto di partenza.

Attento: $x-x^2<0$ per $x\to 0^-$, quindi non puoi mettercelo nel $log$. Quindi fai così:
\[x-x^2=-(x^2-x)=-\exp(\log(x^2-x))\]
Dunque:
\[(x-x^2)\exp\left(-\frac{1}{x^2(x^2-1)}\right)=\\=-\exp(\log(x^2-x))\exp\left(-\frac{1}{x^2(x^2-1)}\right)=\cdots=-\exp\left(\frac{x^2(x^2-1)\log(x^2-x)-1}{x^2(x^2-1)}\right)\]
Per andare avanti, ti devi ricordare che
\[\lim_{y\to 0^+}y\log y=0\]
in modo da poter calcolare il limite della robaccia nell'ultima parentesi.

[ravanello2]

Ciao Plepp,
grazie del suggerimento. In effetti l'argomento del log deve essere positivo, accidenti!

Alla fine otterrei \[ -\exp\left(\frac{x^2(x^2-1)\log(x^2-x)-1}{x^2(x^2-1)}\right) \]

e quindi
$\-exp(((x^4log(-x+o(x))-x^2log(-x+o(x)))-1)/(x^2*(x^2-1)))$

e poi utilizzando il limite notevole che mi hai indicato \[ \lim_{y\to 0^+}y\log y=0 \] per i termini $\x^4log(-x+o(x))$ e $\x^2log(-x+o(x))$
concludo il limite.

Grazie ancora!!