Limite con esponenziale

[francescobev96]

Ciao a tutti, è la mia prima volta sul forum! Ho un problema a risolvere il seguente limite, ho la forma indeterminata $oo-oo$, non penso sia difficile da risolvere ma non riesco ad ottenere il risultato che dovrebbe essere $-1$.

$ lim_(x->oo) (x-2)e^(1/(x-2))-x $

Penso che alla fine uscirà $-x/x$ ma come posso applicare il fontronto tra infiniti? Grazie.

[francicko]

Prova a scrvere il limite nella forma seguente: $lim_(x->infty)(x-2)e^(1/(x-2))-x=lim_(x->infty)(x-2)((1+1/(x-2))^(x-2))^(1/(x-2))-x=lim_(x->infty)(x-2)(1+1/(x-2))-x=lim_(x->infty)(x-2-2/(x-2)+x/(x-2)-x)=lim_(x->infty)(-2-2/(x-2)+x/(x-2))$, adesso calcolando il limite dovresti ottenere il risultato $-1$.
Spero di non essermi sbagliato;
Saluti!

[WalterWhite1]

ciao francicko, ero interessato anche io a questa discussione, tuttavia non riuscivo a risolvere il limite, cè una formula che hai usato per fare quello svolgimento?

[francescobev96]

Grazie mille, si il limite è $-1$! Scusa l'ignoranza, mi puoi spiegare cosa hai fatto al primo passaggio?

[francicko]

Il limite è facile, anch'io comunque all'inizio non riuscivo a risolverlo, in quanto erroneamente sostituivo ad $e^(1/(x-2))$ direttamente il $lim_(x->infty)e^(1/(x-2))=e^0=1$,poi mi sono ricordato che il numero $e$, si può scrivere nella forma $e=lim_(x->infty)(1+1/(x-2))^(x-2)$, quindi ho sostituito ad $e$ la forma suddetta, ottenendo $lim_(x->infty)((1+1/(x-2))^(x-2))^(1/(x-2))=lim_(x->infty)(1+1/(x-2))^((x-2)(1/(x-2)))=lim_(x->infty)(1+1/(x-2))$, che è in ultimo, la forma asintotica corretta da sostituire nel limite originario, ottenendo quindi $lim_(x->infty)((x-2)(1+1/(x-2))-x)$, e calcolando avremo $lim_(x->infty)((x-2)xx1+(x-2)/(x-2)-x)=lim_(x->infty)(x-2+1-x)=-2+1=-1$.
Spero che la spiegazione sia corretta ed esaudiente!
Saluti!

[francescobev96]

Grazie!