Limite con e senza Cesaro
Salve, ho trovato un limite che ho tentato di risolvere con due approcci diversi, ma ho anche ottenuto due risultati differenti... Perché pare che quello a cui sono giunto usando i criteri di Cesaro sia sbagliato?
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2)$
Con Cesaro ho fatto così:
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} ((1+2+...+n)/n)*(1/n) = \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/n * \lim_{n \to \infty} 1/n =$
$= \lim_{n \to \infty} n * \lim_{n \to \infty} 1/n = \lim_{n \to \infty} n/n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
Poi lo faccio nell'altro modo:
$ \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} (n*(n+1))/(2*n^2) = \lim_{n \to \infty} (n+1)/2n = 1/2$
Sembra che il risultato corretto sia il secondo, da cui: dove ho sbagliato ad applicare il teorema di Cesaro? O dove altro ho sbagliato? Mi ispira poco in effetti quel portare dentro e fuori l'argomento del limite...
Grazie!
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2)$
Con Cesaro ho fatto così:
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} ((1+2+...+n)/n)*(1/n) = \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/n * \lim_{n \to \infty} 1/n =$
$= \lim_{n \to \infty} n * \lim_{n \to \infty} 1/n = \lim_{n \to \infty} n/n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
Poi lo faccio nell'altro modo:
$ \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} (n*(n+1))/(2*n^2) = \lim_{n \to \infty} (n+1)/2n = 1/2$
Sembra che il risultato corretto sia il secondo, da cui: dove ho sbagliato ad applicare il teorema di Cesaro? O dove altro ho sbagliato? Mi ispira poco in effetti quel portare dentro e fuori l'argomento del limite...
Grazie!
Risposte
Se limite di $a_n =l$ allora per il teorema Cesaro sai che $1/n\cdot \sum_{k=1}^n a_k=l$ cioè
\[\mbox{Se la successione } \,\,\, a_n \,\,\,\mbox{converge ad $l,$ (che può essere sia un numero reale sia $\pm \infty$), allora posto:}\]
\[\lambda_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}\,\,\,a_k,\qquad\mbox{allora anche } \,\,\, \lambda_n\to l \]
quindi nel tuo caso avresti
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k \cdot\frac{1}{n}\]
da cui detta $a_n=n$ hai che
\[\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} n=+\infty \]
da cui hai che per Cesaro
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k=+\infty\end{align}
ora però tornado al limite iniziale avresti
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty} \begin{matrix}\underbrace{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k }_{\to+\infty} \end{matrix} \cdot\begin{matrix}\underbrace{\frac{1}{n}}_{\to0} \end{matrix}
\end{align}
cioè una forma indeterminata ....
\[\mbox{Se la successione } \,\,\, a_n \,\,\,\mbox{converge ad $l,$ (che può essere sia un numero reale sia $\pm \infty$), allora posto:}\]
\[\lambda_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}\,\,\,a_k,\qquad\mbox{allora anche } \,\,\, \lambda_n\to l \]
quindi nel tuo caso avresti
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k \cdot\frac{1}{n}\]
da cui detta $a_n=n$ hai che
\[\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} n=+\infty \]
da cui hai che per Cesaro
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k=+\infty\end{align}
ora però tornado al limite iniziale avresti
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}=\lim_{n\to+\infty} \begin{matrix}\underbrace{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k }_{\to+\infty} \end{matrix} \cdot\begin{matrix}\underbrace{\frac{1}{n}}_{\to0} \end{matrix}
\end{align}
cioè una forma indeterminata ....
"kingworld":
Salve, ho trovato un limite che ho tentato di risolvere con due approcci diversi, ma ho anche ottenuto due risultati differenti... Perché pare che quello a cui sono giunto usando i criteri di Cesaro sia sbagliato?
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2)$
Con Cesaro ho fatto così:
$\lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} ((1+2+...+n)/n)*(1/n) = \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/n * \lim_{n \to \infty} 1/n $
Dato che mi sà come con la denominazione Cesaro tu intenda il Teorema della media aritmetica,il tuo errore è quì:
a questa altezza dei tuoi conti ti ritrovi,proprio per il teorema appena citato,davanti ad una forma indeterminata $[oo*0]$,
che impedisce d'affermare che è lecito quanto scrivi quì
"kingworld":
$...=lim_{n \to \infty} n/n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$
Piuttosto potrresti osservare che,per un altro tra i teoremi dovuti a Cesaro,hai:
$EElim_(n to oo)(1+2+..+(n-1)+n)/(n^2)=[(oo)/(oo)]=lim_(n to oo)([1+2+..+n+(n+1)]-[1+2+..(n-1)+n])/((n+1)^2-n^2)=..=$
$=lim_(n to oo)(n+1)/(2n+1)=1/2$
Ciò è in accordo con quanto,per altra via,hai determinato quì:
"kingworld":
Poi lo faccio nell'altro modo:
$ \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/(n^2) = \lim_{n \to \infty} (n*(n+1))/(2*n^2) = \lim_{n \to \infty} (n+1)/2n = 1/2$
Sembra che il risultato corretto sia il secondo, da cui: dove ho sbagliato ad applicare il teorema di Cesaro? O dove altro ho sbagliato? Mi ispira poco in effetti quel portare dentro e fuori l'argomento del limite...
Grazie!
Saluti dal web.
Ok, ho capito dove ho errato, grazie mille a entrambi! 
P.S.: comunque a noi anche quella relazione, che hai chiamato "teorema della media aritmetica", l'hanno spacciata come un teorema di Cesaro; questo a lezione, sul libro la dà come una diretta conseguenza degli stessi... ma poco importa, grazie ancora ^^
P.S.: comunque a noi anche quella relazione, che hai chiamato "teorema della media aritmetica", l'hanno spacciata come un teorema di Cesaro; questo a lezione, sul libro la dà come una diretta conseguenza degli stessi... ma poco importa, grazie ancora ^^
Si,certo,è solo una questione di terminologia;
quello che io chiamo teorema della media aritmetica è un teorema dovuto anch'esso a Cesaro,
ed a secondo dei corsi vien presentato come corollario di quella sorta di Teorema di De L'Hopitàl sul discreto che ho richiamato nel post precedente o come lemma per la sua dimostrazione:
nulla d'importante,insomma,
mentre è sostanziale che tu abbia capito il tuo errore d'approccio..
Saluti dal web.
quello che io chiamo teorema della media aritmetica è un teorema dovuto anch'esso a Cesaro,
ed a secondo dei corsi vien presentato come corollario di quella sorta di Teorema di De L'Hopitàl sul discreto che ho richiamato nel post precedente o come lemma per la sua dimostrazione:
nulla d'importante,insomma,
mentre è sostanziale che tu abbia capito il tuo errore d'approccio..
Saluti dal web.
Forse ho avuto una seconda illuminazione su come interpretare il mio errore: per il teorema summenzionato (a prescindere dal nome), ho un'uguaglianza fra RISULTATI dei limiti, ma non fra gli "argomenti" (io continuo a chiamarli "argomenti", ma realizzo che non so se sia corretto): cioè, $\lim_{n \to \infty}n = \lim_{n \to \infty} (1+2+...+n)/n$, ma nessuno mi dice che $n^2=\sum_{k=1}^N k=n(n+1)/2$, anzi, è vero solo per un paio di valori, se non sbaglio... quindi, nessuno mi autorizza a "portare dentro" la n e poi semplificarla.
Che dovrebbe essere un altro modo di vedere il fatto che è una forma veramente indeterminata $oo*0$, no?
Lo so che il linguaggio che ho adoperato non è strettamente matematico, ma è stata una intuizione "naif", non aveva pretese di rigore o puntalità Ma concettualmente è valida?
Che dovrebbe essere un altro modo di vedere il fatto che è una forma veramente indeterminata $oo*0$, no?
Lo so che il linguaggio che ho adoperato non è strettamente matematico, ma è stata una intuizione "naif", non aveva pretese di rigore o puntalità
Ma concettualmente è valida?
Beh,mi sembra di poter dire due cose:
1)L'argomentazione è esposta,in effetti,tramite un linguaggio un pò troppo naif..
2)Ciò nonostante è accaduto quanto doveva,a livello delle tue sinapsi neuronali..
Con la seconda frase intendo dire che grazie a quest'esperienza ti sei portato un ulteriore ed "originale" esempio,
a fondamentale corredo di quelli che ti son stati certamente presentati durante il corso,
della ragione per la quale il caso $[oo*0]$ è d'indecisione
(e mi sà che ora questo fatto resterà scolpito nella tua mente definitivamente
):
in altre parole,formalmente un pò più corrette,
hai capito perchè certe sostituzioni a priori sono troppo allegre e potenzialmente dannose ma,se ben effettuate(*),
sono utilissime a posteriori..
Saluti dal web.
(*)Se proprio vuoi effettuare sostituzioni di quel tipo,davanti a forme indeterminate,
ricorri piuttosto alle cosidette "stime asintotiche":
nel tuo caso hai sbagliato perchè hai usato la stima $(1+2+..+n)/n sim n$,
errata poichè è evidentemente corretto dire che $(1+2+..+n)/n \sim (n+1)/2$
(e guarda caso con quest'ultima pervieni alla convergenza corretta..)!
1)L'argomentazione è esposta,in effetti,tramite un linguaggio un pò troppo naif..
2)Ciò nonostante è accaduto quanto doveva,a livello delle tue sinapsi neuronali..
Con la seconda frase intendo dire che grazie a quest'esperienza ti sei portato un ulteriore ed "originale" esempio,
a fondamentale corredo di quelli che ti son stati certamente presentati durante il corso,
della ragione per la quale il caso $[oo*0]$ è d'indecisione
(e mi sà che ora questo fatto resterà scolpito nella tua mente definitivamente
):in altre parole,formalmente un pò più corrette,
hai capito perchè certe sostituzioni a priori sono troppo allegre e potenzialmente dannose ma,se ben effettuate(*),
sono utilissime a posteriori..
Saluti dal web.
(*)Se proprio vuoi effettuare sostituzioni di quel tipo,davanti a forme indeterminate,
ricorri piuttosto alle cosidette "stime asintotiche":
nel tuo caso hai sbagliato perchè hai usato la stima $(1+2+..+n)/n sim n$,
errata poichè è evidentemente corretto dire che $(1+2+..+n)/n \sim (n+1)/2$
(e guarda caso con quest'ultima pervieni alla convergenza corretta..)!
Grazie anche per la correzione grammaticale!
(in effetti ho capito di aver una cosa tipo: "ehi, $\lim_{n \to \infty}n*\lim_{n \to \infty}1/n$ è indeterminato! Che faccio...? Toh, $\lim_{n \to \infty}1/n=\lim_{n \to \infty}1/(n^2)$, sostituiamolo! Viene $\lim_{n \to \infty}n*\lim_{n \to \infty}1/(n^2)=\lim_{n \to \infty}n/n^2=\lim_{n \to \infty}1/n=0$, oddio fa zero sono un genio!!!".
Messa così sembra abbia sparato una cavolata mica da poco xD
Beh, grazie ancora a tutti, soprattutto di sopportare i miei sproloqui! )
(in effetti ho capito di aver una cosa tipo: "ehi, $\lim_{n \to \infty}n*\lim_{n \to \infty}1/n$ è indeterminato! Che faccio...? Toh, $\lim_{n \to \infty}1/n=\lim_{n \to \infty}1/(n^2)$, sostituiamolo! Viene $\lim_{n \to \infty}n*\lim_{n \to \infty}1/(n^2)=\lim_{n \to \infty}n/n^2=\lim_{n \to \infty}1/n=0$, oddio fa zero sono un genio!!!".
Messa così sembra abbia sparato una cavolata mica da poco xD
Beh, grazie ancora a tutti, soprattutto di sopportare i miei sproloqui!
)
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