Limite con differenza di radici con indice diverso
Salve a tutti,
vorrei provare a capire l'errore. Il limite è il seguente:
$lim_{x \to \infty}[root(5)(x^5-2x^4) - root(7)(x^7-1)]$
Ho usato la regola degli asintotici della radice che dovrebbe essere ammessa in questo caso: $\alpha\epsilon$ dove $\alpha$ è l'elevamento a potenza, mentre $\epsilon$ è la parte infinitesimale del radicando.
Date queste premesse, ho trasformato il limite in questo modo:
$lim_{x \to \infty}[1/5(1-2/x) - 1/7(1-1/x^7)] = 1/5 - 1/7 = 2/35$.
Il risultato però viene $-2/5$.
Che cosa ho sbagliato?
Grazie mille.
vorrei provare a capire l'errore. Il limite è il seguente:
$lim_{x \to \infty}[root(5)(x^5-2x^4) - root(7)(x^7-1)]$
Ho usato la regola degli asintotici della radice che dovrebbe essere ammessa in questo caso: $\alpha\epsilon$ dove $\alpha$ è l'elevamento a potenza, mentre $\epsilon$ è la parte infinitesimale del radicando.
Date queste premesse, ho trasformato il limite in questo modo:
$lim_{x \to \infty}[1/5(1-2/x) - 1/7(1-1/x^7)] = 1/5 - 1/7 = 2/35$.
Il risultato però viene $-2/5$.
Che cosa ho sbagliato?
Grazie mille.
Risposte
Ti ricordo lo sviluppo di Taylor per $x\to 0$ della funzione $f(x)=(1+x)^(\alpha)=1+\alpha x +o(x)$
allora si ha raccogliendo il termine dominante, visto che $x\to +\infty$
$ \lim_(x\to +\infty) x [(1-2/x)^(1/5)-(1-(1)/(x^7))^(1/7)] $
con la formula scritta ti viene
$ \lim_(x\to +\infty) x [1-(2)/(5x)-1+(1)/(7x^7)+o((1)/(x^7))] $
ora se moltiplichi tutto per $x$ che sta fuori dalla parentesi quadra.. ti esce
$ \lim_(x\to +\infty) -2/5-(1)/(7x^6)+o((1)/(x^6)) $
con $g(x)=-2/5-(1)/(7x^6)+o((1)/(x^6)) $
\( \lim_{x\rightarrow +\infty} g(x) \sim -\frac{2}{5}-\frac{1}{7x^6} \to -2/5 \)
In sostanza ti sei dimenticato una $x$ fuori dalla parentesi quadra..
allora si ha raccogliendo il termine dominante, visto che $x\to +\infty$
$ \lim_(x\to +\infty) x [(1-2/x)^(1/5)-(1-(1)/(x^7))^(1/7)] $
con la formula scritta ti viene
$ \lim_(x\to +\infty) x [1-(2)/(5x)-1+(1)/(7x^7)+o((1)/(x^7))] $
ora se moltiplichi tutto per $x$ che sta fuori dalla parentesi quadra.. ti esce
$ \lim_(x\to +\infty) -2/5-(1)/(7x^6)+o((1)/(x^6)) $
con $g(x)=-2/5-(1)/(7x^6)+o((1)/(x^6)) $
\( \lim_{x\rightarrow +\infty} g(x) \sim -\frac{2}{5}-\frac{1}{7x^6} \to -2/5 \)
In sostanza ti sei dimenticato una $x$ fuori dalla parentesi quadra..
Grazie 
Diciamo che Taylor non l'avevo proprio considerato.
Diciamo che Taylor non l'avevo proprio considerato.
"danitudi97":
Grazie
Diciamo che Taylor non l'avevo proprio considerato.
sono importanti gli sviluppi di Taylor.. ti consiglio di impararli un po' a memoria..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo