Limite con de l'Hopital
Ragazzi ho questo limite $ limx->0^+ (x-sinx)/(x^3) $ e penso sia giusto procedere con de l'Hopital in quanto è una forma $ 0/0 $
Ora il mio dubbio è questo.
Dopo aver applicato de l'hopital la prima volta ottengo $ limx->0^+(1-cos x)/(3x^2) $ , ora mi chiedo se questo limite deve dare come risultato $ 0 $ perchè applicando $ 0^+ $ abbiamo $ 0/0^+ $ che quindi sarà sicuramente $ 0 $?
Mi spiegate perchè sbaglio a ragionare cosi?
Mentre applicando un altra volta de l'Hopital ottengo $ lim x->0^+ sinx/(6x) $ e applicandolo ancora per l'ultima volta ottengo $ lim x->0^+ cosx/(6) $ che da come risultato $ 1/6 $ (che è quello corretto).
QUindi so che bisogna continuare con de l'hopital ma vorrei capire perchè sbaglio a fermarmi al secondo passaggio.
Grazie!
Ora il mio dubbio è questo.
Dopo aver applicato de l'hopital la prima volta ottengo $ limx->0^+(1-cos x)/(3x^2) $ , ora mi chiedo se questo limite deve dare come risultato $ 0 $ perchè applicando $ 0^+ $ abbiamo $ 0/0^+ $ che quindi sarà sicuramente $ 0 $?
Mi spiegate perchè sbaglio a ragionare cosi?
Mentre applicando un altra volta de l'Hopital ottengo $ lim x->0^+ sinx/(6x) $ e applicandolo ancora per l'ultima volta ottengo $ lim x->0^+ cosx/(6) $ che da come risultato $ 1/6 $ (che è quello corretto).
QUindi so che bisogna continuare con de l'hopital ma vorrei capire perchè sbaglio a fermarmi al secondo passaggio.
Grazie!
Risposte
parole del mio prof di Analisi 1
"Nella maggioranza dei casi gli studenti usano Hopital, cosa molto rischiosa, perchè se dopo la prima derivata vi esce ancora un caso di forma di indecisione, allora si deriva ancora, e se esce ancora una forma di indecisione? Si deriva un'altra volta.. e se succede ancora una forma di indecisione.. si entra dentro ad una catena di derivate..
Cioè ragazzi, ma quante derivate devo fare?
Per cui dimenticate Hopital e usatelo davvero poco, questo è il mio consiglio"
E allora poi ci ha consigliato di usare gli sviluppi di Taylor-McLaurin
qui visto che $x\to 0$ e poi a numeratore hai un $\sin x$
usa gli sviluppi.. perchè come hai ben visto, hai dovuto applicare Hopital troppe volte..
"Nella maggioranza dei casi gli studenti usano Hopital, cosa molto rischiosa, perchè se dopo la prima derivata vi esce ancora un caso di forma di indecisione, allora si deriva ancora, e se esce ancora una forma di indecisione? Si deriva un'altra volta.. e se succede ancora una forma di indecisione.. si entra dentro ad una catena di derivate..
Cioè ragazzi, ma quante derivate devo fare?
Per cui dimenticate Hopital e usatelo davvero poco, questo è il mio consiglio"
E allora poi ci ha consigliato di usare gli sviluppi di Taylor-McLaurin
qui visto che $x\to 0$ e poi a numeratore hai un $\sin x$
usa gli sviluppi.. perchè come hai ben visto, hai dovuto applicare Hopital troppe volte..
Sinceramente non capisco perché c'è l'avete tutti con il nobiluomo 
Se c'è un caso che si risolve facilmente con la regola di De L'Hopital è proprio questo ... le $x$ spariscono lasciando i coefficienti del grado maggiore mentre il coseno rimane ...
@Michele
Il tuo sbaglio sta nel fatto che ANCHE dopo la prima applicazione della regola la forma rimane indeterminata, non è zero.
Cordialmente, Alex
Se c'è un caso che si risolve facilmente con la regola di De L'Hopital è proprio questo ... le $x$ spariscono lasciando i coefficienti del grado maggiore mentre il coseno rimane ...
@Michele
Il tuo sbaglio sta nel fatto che ANCHE dopo la prima applicazione della regola la forma rimane indeterminata, non è zero.
Cordialmente, Alex
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