Limite con coordinate polari in $RR^2$
Provo ad esplicitare tutti i miei dubbi con questo problema (ma anche riguardo la situazione più generale...):
$f(x,y)={ ( (x^2+y^2)/(pi+2arctan(y/x)), x!=0 ),( y^2/(2pi), x=0):}$
devo studiare la continuità di questa funzione in $(0,0)$, in altre parole quindi verificare che il limite esista e sia 0.
Mi concentro sulla funzione di sopra e provo con le coordinate polari:
$f(r, theta)=(r^2)/(pi+2theta)$
E quindi ho sostituito $theta=arctan(tan theta)$ dove, in questo caso, ho che $theta$ varia in $(-pi/2,pi/2]$, che è l'insieme immagine della funzione arcotangente.
Per trovare il limite mi concentro appunto sulla funzione di sopra.
Noto che:
$r to 0 rArr f(r, theta)=(r^2)/(pi+2theta) to 0$
Ma questo non è sufficiente per dire che il limite della funzione in $(0,0)$ sia 0.
Devo infatti trovare $g(r)$ funzione con sola variabile r che maggiori il modulo di $f$ e, infine, da:
$0<=|f(r,theta)|<=g(r) to 0$
potrò ricavare che il limite è 0 grazie al teorema del confronto.
Il problema è appunto che non riesco a trovare una tale funzione g.
Mi è capitato con un problema simile di trovare qualcosa come:
$r to 0 rArr f(r, theta)=(r*cos^2 theta)/sin theta to 0$
per poi scoprire che in realtà la funzione di partenza non aveva un limite ben definito.
A intuito direi che l'ordine di differenza tra numeratore e denominatore nel calcolo del limite gioca un ruolo chiave.
In questo caso appunto, essendo il numeratore con $r^2$ di ordine 2 e il denominatore $pi+2theta$ che tende a 0 "con ordine 1" sono abbastanza sicuro che il limite esista e sia effettivamente 0, anche se si tratta comunque di due variabili diverse...
E comunque non riesco ancora a trovare una funzione $g$ che mi aiuti nel teorema del confronto.
Che ne pensate?
P.s. chiaramente il problema sorge dove il denominatore si annulla, per theta che si avvicina a $-pi/2$
$f(x,y)={ ( (x^2+y^2)/(pi+2arctan(y/x)), x!=0 ),( y^2/(2pi), x=0):}$
devo studiare la continuità di questa funzione in $(0,0)$, in altre parole quindi verificare che il limite esista e sia 0.
Mi concentro sulla funzione di sopra e provo con le coordinate polari:
$f(r, theta)=(r^2)/(pi+2theta)$
E quindi ho sostituito $theta=arctan(tan theta)$ dove, in questo caso, ho che $theta$ varia in $(-pi/2,pi/2]$, che è l'insieme immagine della funzione arcotangente.
Per trovare il limite mi concentro appunto sulla funzione di sopra.
Noto che:
$r to 0 rArr f(r, theta)=(r^2)/(pi+2theta) to 0$
Ma questo non è sufficiente per dire che il limite della funzione in $(0,0)$ sia 0.
Devo infatti trovare $g(r)$ funzione con sola variabile r che maggiori il modulo di $f$ e, infine, da:
$0<=|f(r,theta)|<=g(r) to 0$
potrò ricavare che il limite è 0 grazie al teorema del confronto.
Il problema è appunto che non riesco a trovare una tale funzione g.
Mi è capitato con un problema simile di trovare qualcosa come:
$r to 0 rArr f(r, theta)=(r*cos^2 theta)/sin theta to 0$
per poi scoprire che in realtà la funzione di partenza non aveva un limite ben definito.
A intuito direi che l'ordine di differenza tra numeratore e denominatore nel calcolo del limite gioca un ruolo chiave.
In questo caso appunto, essendo il numeratore con $r^2$ di ordine 2 e il denominatore $pi+2theta$ che tende a 0 "con ordine 1" sono abbastanza sicuro che il limite esista e sia effettivamente 0, anche se si tratta comunque di due variabili diverse...
E comunque non riesco ancora a trovare una funzione $g$ che mi aiuti nel teorema del confronto.
Che ne pensate?
P.s. chiaramente il problema sorge dove il denominatore si annulla, per theta che si avvicina a $-pi/2$
Risposte
Dovresti provare la restrizione sottostante:
Infatti:
$[y lt 0] ^^ [x=y^4]$
Infatti:
$lim_(y->0^-)f(y^4,y)=+oo$
Caspita 
quindi in questo caso le coordinate polari non ci dicono proprio niente?
quindi in questo caso le coordinate polari non ci dicono proprio niente?
@ProPatria: Non è sempre vero che \(\arctan(\tan \theta)=\theta\); dipende dall'insieme in cui varia \(\theta\). La tangente ha l'inversa "canonica" in \((-\pi/2,\pi/2)\), mentre le coordinate polari, in questo caso, hanno anomalia che varia in un intervallo ampio \(2\pi\) a cui devi togliere i punti \(\theta_1 = \pi /2\) e \(\theta_2 = 3\pi/2\) quando sei nel caso \(x \ne 0\) (non capisco perché lo hai ristretto a \((-\pi/2,\pi/2]\); le coordinate polari, senza ulteriori condizioni, considerano un angolo di ampiezza \(2\pi\)).
Quindi, dalla periodicità della tangente, negli intervalli \((\pi/2,3\pi/2)\) e \((3\pi/2,2\pi)\) puoi ricondurti all'inversa canonica sfruttandone la periodicità come segue: \[
\theta \in (\pi/2,3\pi/2) \implies \theta-\pi \in (-\pi/2,\pi/2) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-\pi))=\theta - \pi \\
\theta \in (3\pi/2,2\pi) \implies \theta-2\pi \in (-\pi/2,0) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-2\pi)) = \theta - 2\pi
\] Da ciò, posto \(T:=[0,\pi/2) \cup (\pi/2,3\pi/2) \cup (3\pi/2,2\pi)\), deduci ciò che ha dedotto Noodles notando che quando \(\theta \in T\) la funzione \(g:(0,+\infty) \times T \to \mathbb{R}\) definita ponendo \(g(r,\theta):=f(r \cos \theta,r\sin \theta)\) è superiormente illimitata quando \(\theta \to (\pi/2)^+\).
Quindi, dalla periodicità della tangente, negli intervalli \((\pi/2,3\pi/2)\) e \((3\pi/2,2\pi)\) puoi ricondurti all'inversa canonica sfruttandone la periodicità come segue: \[
\theta \in (\pi/2,3\pi/2) \implies \theta-\pi \in (-\pi/2,\pi/2) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-\pi))=\theta - \pi \\
\theta \in (3\pi/2,2\pi) \implies \theta-2\pi \in (-\pi/2,0) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-2\pi)) = \theta - 2\pi
\] Da ciò, posto \(T:=[0,\pi/2) \cup (\pi/2,3\pi/2) \cup (3\pi/2,2\pi)\), deduci ciò che ha dedotto Noodles notando che quando \(\theta \in T\) la funzione \(g:(0,+\infty) \times T \to \mathbb{R}\) definita ponendo \(g(r,\theta):=f(r \cos \theta,r\sin \theta)\) è superiormente illimitata quando \(\theta \to (\pi/2)^+\).
"ProPatria":
... le coordinate polari non ci dicono proprio niente?
Analizzando le infinite restrizioni lungo le semirette sottostanti:
$\theta in ]-\pi/2,0]$
dopo aver determinato i raggi $R(\theta,\epsilon)$ degli intorni sulle semirette:
$[(r^2)/(2theta+\pi) lt \epsilon] rarr [0 lt r lt sqrt(\epsilon(2theta+\pi))] rarr [R(\theta,\epsilon)=sqrt(\epsilon(2theta+\pi))]$
basta osservare che:
$lim_(\theta->(-\pi/2)^+)R(\theta,\epsilon)=0$
In definitiva, poichè l'insieme dei raggi $R(\theta,\epsilon)$ degli intorni sulle semirette non ha minimo strettamente positivo, il quarto di intorno circolare non esiste.
P.S.
Ho corretto il segno dell'infinito:
$lim_(y->0^-)f(y^4,y)=+oo$
"Mephlip":
@ProPatria: Non è sempre vero che \(\arctan(\tan \theta)=\theta\); dipende dall'insieme in cui varia \(\theta\). La tangente ha l'inversa "canonica" in \((-\pi/2,\pi/2)\), mentre le coordinate polari, in questo caso, hanno anomalia che varia in un intervallo ampio \(2\pi\) a cui devi togliere i punti \(\theta_1 = \pi /2\) e \(\theta_2 = 3\pi/2\) quando sei nel caso \(x \ne 0\) (non capisco perché lo hai ristretto a \((-\pi/2,\pi/2]\); le coordinate polari, senza ulteriori condizioni, considerano un angolo di ampiezza \(2\pi\)).
Quindi, dalla periodicità della tangente, negli intervalli \((\pi/2,3\pi/2)\) e \((3\pi/2,2\pi)\) puoi ricondurti all'inversa canonica sfruttandone la periodicità come segue: \[
\theta \in (\pi/2,3\pi/2) \implies \theta-\pi \in (-\pi/2,\pi/2) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-\pi))=\theta - \pi \\
\theta \in (3\pi/2,2\pi) \implies \theta-2\pi \in (-\pi/2,0) \implies \arctan(\tan \theta) = \arctan(\tan(\theta-2\pi)) = \theta - 2\pi
\] Da ciò, posto \(T:=[0,\pi/2) \cup (\pi/2,3\pi/2) \cup (3\pi/2,2\pi)\), deduci ciò che ha dedotto Noodles notando che quando \(\theta \in T\) la funzione \(g:(0,+\infty) \times T \to \mathbb{R}\) definita ponendo \(g(r,\theta):=f(r \cos \theta,r\sin \theta)\) è superiormente illimitata quando \(\theta \to (\pi/2)^+\).
Grazie per la risposta
è tutto molto chiaro, solo per non appesantire il messaggio non ho esplicitato il ragionamento che ho seguito per "restringere" l'intervallo di $theta$.
Praticamente:
La seconda funzione ha limite chiaramente 0 nell'origine, mi concentro sulla prima.
in coordinate polari diventa come hai detto tu:
$ f(r, theta)=(r^2)/(pi+2arctan(tan theta)) $, al variare di $theta in [0, 2pi)\\{pi/2, -(3pi)/2}$
dato che, appunto utilizzando questo insieme per $theta$, se applico la funzione arcotangente i calcoli con gli angoli si complicano un po', ho pensato di usare come insieme di partenza quello $theta in (-pi/2, (3pi)/2)\\{pi/2}$
che è comunque un intervallo di $2pi$ (a meno dei due angoli esclusi) e quindi formalmente dovrebbe essere la stessa cosa.
Quindi a questo punto la funzione diventa:
$r^2/(pi + 2theta)$, se $theta in (-pi/2, pi/2)=T_1$ (seguendo la definizione secondo cui $arctan(0)=0$)
E:
$r^2/(pi + 2(theta-pi))$, se $theta in (pi/2, (3pi)/2)=T_2$
A questo punto però per semplificarmi la vita ho pensato che queste due funzioni sono esattamente equivalenti se considero che la relazione $theta_1=theta_2-pi$, dove $theta_1 in T_1, theta_2 in T_2$ forma una biiezione tra i due intervalli e studiarne uno equivale simmetricamente a studiare anche l'altro.
Detto questo mi sono limitato a considerare solo $theta in T_1$ per questo, sono consapevole che non sto considerando tutto il dominio in questo modo (ma bensì solo la parte $x>0$ delle ascisse positive) ma d'altronde $arctan$ è una funzione di [strike]dominio[/strike] periodo $pi$. Forse è un ragionamento un po' astruso ma mi sembra giusto.
"Noodles":
[quote="ProPatria"]
... le coordinate polari non ci dicono proprio niente?
Analizzando le infinite restrizioni lungo le semirette sottostanti:
$ \theta in ]-\pi/2,0] $
dopo aver determinato i raggi $ R(\theta,\epsilon) $ degli intorni sulle semirette:
$ [(r^2)/(2theta+\pi) lt \epsilon] rarr [0 lt r lt sqrt(\epsilon(2theta+\pi))] rarr [R(\theta,\epsilon)=sqrt(\epsilon(2theta+\pi))] $
basta osservare che:
$ lim_(\theta->(-\pi/2)^+)R(\theta,\epsilon)=0 $
In definitiva, poichè l'insieme dei raggi $ R(\theta,\epsilon) $ degli intorni sulle semirette non ha minimo strettamente positivo, il quarto di intorno circolare non esiste.
P.S.
Ho corretto il segno dell'infinito:
$ lim_(y->0^-)f(y^4,y)=+oo $
[/quote]Chiarissimo!
a quanto pare il fatto $r to 0 rArr f(r,theta) to 0$ è molto meno "restrittivo" di quanto pensassi...
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