Limite con coordinate polari

[Ulyx3s]

Voglio condividere con voi il dubbio che mi è venuto alla mente nel discutere con un mio compagno riguardo la risoluzione di un limite in 2 variabili.
Sappiamo che il limite

$ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) $
Può essere trasformato in coordinate polari, ovvero:
$ lim_(p-> 0) f(p*cos(A),p*sin(A)) $

cosa vuol dire questo? a mio parere vuol dire variare l angolo $A$ e per ogni angolo far tendere il "raggio" a 0, dunque l esistenza del secondo limite secondo me non implica l esistenza del limite, perchè è come mettersi su ogni retta passante per zero e tendere a zero con il modulo, quindi se il limite non esiste per $y=x^(3/2)$, non me ne accorgo.

Il mio compagno sosteneva invece che il limite esiste sicuramente, in quanto secondo lui $A$ non è un angolo fissato ma può essere anche una funzione di p!
quindi io con il limite ho incluso il caso $y=x^(3/2)$ perchè per un certo $A=f(p)$ questo è verificato...a me pare un pò strana questa cosa, perchè secondo me sia con il metodo delle coordinate polari che con quello delle direzioni y=mx non si conclude che il limite esiste..
cosa dite voi?

[dissonance]

Non mi ricordo se ti ho già segnalato questo vecchio link, vedi un po' se ti è utile:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#369836

[Ulyx3s]

ok, però nel caso "banale" che proponi te è una funzione descritta per casi e quindi è facile porre le condizioni tra il raggio e l angolo in modo da trovare il non-limite.

ma io vorrei sapereanche a titolo teorico, trasformando in coordinate polari è come mettersi sulle varie direzioni oppure prendi giàin considerazione le curve particolari?

grazie

[dissonance]

A livello teorico mi sembra che sia tutto completamente spiegato da questa proposizione:

Sia $f$ una funzione reale di due variabili definita in un intorno bucato di $(0, 0)$ e sia $bar{f}$ l'espressione locale di $f$ in coordinate polari $(rho, theta)$. Sono equivalenti:

a) esiste $l \in RRuu{+-infty}$ tale che $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)=l$;
b) esiste $l \in RR uu {+-infty}$ tale che $lim_{rho \to 0^+} bar{f}(rho, theta) = l$ uniformemente rispetto a $theta \in [0, 2pi)$.

[Ulyx3s]

ok, allora c è qualcosa che continuo a non capire.

Si prenda l esempio:

$ f(x,y)=(x^2*y^3)/(x^4+y^6) $
Vogliamo calcolare:
$lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) $

Passiamo in cordinate polari:
$lim_(p -> 0) (p^5*cos(a)^2*sin(a)^3)/(p^4*(cos(a)^4+p^2*sin(a)^6))= (p*cos(a)^2*sin(a)^3)/((cos(a)^4+p^2*sin(a)^6))=0$

Quindi potrei concludere che il limite è 0 perchè non dipende da a?

tuttavia sulla curva $y=x^(2/3)$ il limite è 1/2.

dov è che sbaglio?

[dissonance]

Quindi potrei concludere che il limite è 0 perchè non dipende da a?

Qui sbagli. E' vero che per qualsiasi $a$ quel limite vale $0$ ma non esiste uniformemente rispetto ad $a$. E' un concetto sottile, purtroppo. Immagina di prendere $a$ via via più vicine a $pi/2$. Allora quel coseno a denominatore diventa sempre più piccolo più rapidamente di quanto non faccia il coseno a numeratore. Quando $rho$ tende a $0$ tutto si rimpicciolisce fino a sparire, ma il parametro $rho$ deve fare sempre più fatica via via che $a$ è più vicino a $pi/2$. Diverso sarebbe stato se avessi avuto

$rho*["qualcosa di limitato che non dipende da "rho]$.

In questo caso puoi concludere che il limite esiste e vale $0$, perché quel "qualcosa di limitato" è in valore assoluto più piccolo di una costante $M$ e quindi tutta l'espressione tende a zero come $M*rho$, e qui l'uniformità è evidente.

[Ulyx3s]

mmm..
ok allora nuovo esempio (che mi pare contraddire l ultimissima cosa che hai detto)...


$lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2*y)/(x+y)$

in coordinate polari:

$lim_(p -> 0) = (p^3)/(p)*(cos(a)^2*sin(a))/(cos(a)+sin(a))$

che è proprio della forma [p * (cosa finita che non pidende da p]. quindi pare zero il limite.

tuttavia su $y=x^3-x$ vale -1... why?? O_o

comunque grazie per la pazienza...

[dissonance]

E no, studia bene la funzione $frac{cos(a)^2sin(a)}{cos(a)+sin(a)}$. Cosa succede in un intorno di $-pi/4$?

[Ulyx3s]

ah, perchè anche quello non deve andare a più infinito...ok...

dunque in conclusione questo metodo delle polari è il miglior rapporto qualità/prezzo, nel senso che è abbastanza semplice ed è un indicatore sicuro dell esistenza del limite o meno...certamente come già detto considerando la conclusione affermativa solo in caso di uniformità del limite...

ok adesso devo ancora comprendere tutto alla perfezione ma ci penserò su... grazie 1000!!

[Galoisfan]

Scusate se riesumo un post molto vecchio ma non riesco a trovare da nessuna parte una dimostrazione della proposizione:

"dissonance":A livello teorico mi sembra che sia tutto completamente spiegato da questa proposizione:



Sia $f$ una funzione reale di due variabili definita in un intorno bucato di $(0, 0)$ e sia $bar{f}$ l'espressione locale di $f$ in coordinate polari $(rho, theta)$. Sono equivalenti:



a) esiste $l \in RRuu{+-infty}$ tale che $lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)=l$;

b) esiste $l \in RR uu {+-infty}$ tale che $lim_{rho \to 0^+} bar{f}(rho, theta) = l$ uniformemente rispetto a $theta \in [0, 2pi)$.

Potreste darmi qualche riferimento bibliografico?

[dissonance]

Ma guarda, fai prima a dimostrartela da te che a cercare sui libri. E' tutta questione di tradurre in epsilon e delta le affermazioni a) e b).

[paolotesla91]

Ciao. Io avrei dato una spiegazione meno formalizzata ma che intuitivamente funziona. Immagina di studiare la funzione in un intorno del punto $(x_0,y_0)$, ciò significa prendere un palla di centro il punto e raggio $r>0$ opportuno. Se trasformi tutto in coordinate polari in sostanza vai a studiare come si comporta la tua funzione nell'intorno di quel punto e, come ti ha fatto notare dissonance, ciò può non valere per qualche angolo $\theta$. Questo ragionamento, se ci rifletti un pò, avvalora il fatto dell'uniformità .

Spero di essermi spiegato.