Limite con confronto tra infinitesimi

[AnalisiZero]

Ciao,

Devo risolvere questo limite:

$lim_(xto0^+)(xsqrt(x)-x^3)/(senx^2+3xsqrt(senx))$
Da risolvere con il confronto tra infinitesimi.

Al numeratore ho messo in evidenza $sqrtx$, al denominatore non saprei cosa fare.

Grazie.

[Luca.Lussardi]

Prova a vedere se il denominatore va anche lui come $x\sqrt x$, a occhio sembra essere cosi'.

[AnalisiZero]

Se sostituissi $senx$ con $x$ e $senx^2$ con $x^2$ rispetterei la "consegna" di risolverlo con il confronto fra infinitesimi?

[Luca.Lussardi]

No, i confronti non passano alla somma... devi farlo a mano globalmente sulla somma.

[AnalisiZero]

Quindi per rispettare la consegna dovrei vedere senza fare sostituzioni asintotiche quali sono le funzioni hanno ordine di infinitesimo maggiore e tralasciarle a numeratore e denominatore, giusto?

[Luca.Lussardi]

Prova a fare la stessa cosa che hai fatto al numeratore: metti in evidenza $x\sqrt x$ anche sotto e vedi che capita...

[AnalisiZero]

Ottengo:

$lim_(xto0^+)(xsqrtx)/(xsqrtx*((senx^2)/(xsqrtx)+3sqrt(xsenx)))$

Il primo termine dentro parentesi però tende a $0$, giusto?

[Luca.Lussardi]

Si, ma il secondo e' sbagliato...

[AnalisiZero]

Giusto, il secondo è $(3xsqrtsenx)/(xsqrtx)$ quindi il limite vale $1/3$, giusto?

[Luca.Lussardi]

si.

[AnalisiZero]

Grazie

[AnalisiZero]

Sto provando a risolvendo con un altro metodo che usa la definizione di ordine di infinitesimo.
Ho trascurato al numeratore del limite di partenza $xsqrtx$ e al denominatore $senx^2$.
Così ora devo risolvere questo limite:
$lim_(xto0^+)(x^3)/(3xsqrt(senx))$. Ho trascurato i giusti termini? E come potrei risolvere questo limite?

Grazie.