Limite con cambio di variabile e modulo
Salve a tutti,
facendo esercizi in vista dell'esame, mi sono imbattuto in questo limite $lim_(x -> -infty) (sqrt(x^2+1)/x)$ , che ho risolto facendo un cambio di variabile con $1/t=x$ così che venisse $lim_(x -> 0) (t*sqrt((1+t^2)/t^2))$ e svolgendolo, il risultato mi veniva $1$ . Controllando poi con wolfram, ho notato che in realtà veniva $-1$ al che ho ricontrollato per vedere dove fosse l'errore, ho considerato $sqrt(t^2)$ come $t$ e non $|t|$ , però, con il limite che tende a $0$ devo studiarlo sia per $x>=0$ che per $x<0$ , a questo punto voglio chiedervi, dato che originariamente il limite tende a $-infty$ , devo considerare a prescindere i valori negativi del modulo, oppure in questo caso col cambio di variabile non tende a $0$ ma a $0-$ ?
Volevo poi chiedervi un'altra cosa, sempre riguardante questo limite, guardando lo svolgimento di wolfram, ho notato di essermi complicato la vita, perchè bastava portare la $x$ del denominatore dentro la radice e raccogliere per $x^2$ , però portando dentro, wolfram cambia il segno della funzione, che regola ha utilizzato? C'entra il fatto che il limite tende a $-oo$ ?
Grazie mille!
Vi posto l'immagine dello svolgimento che fa wolfram per risultare più chiaro.
facendo esercizi in vista dell'esame, mi sono imbattuto in questo limite $lim_(x -> -infty) (sqrt(x^2+1)/x)$ , che ho risolto facendo un cambio di variabile con $1/t=x$ così che venisse $lim_(x -> 0) (t*sqrt((1+t^2)/t^2))$ e svolgendolo, il risultato mi veniva $1$ . Controllando poi con wolfram, ho notato che in realtà veniva $-1$ al che ho ricontrollato per vedere dove fosse l'errore, ho considerato $sqrt(t^2)$ come $t$ e non $|t|$ , però, con il limite che tende a $0$ devo studiarlo sia per $x>=0$ che per $x<0$ , a questo punto voglio chiedervi, dato che originariamente il limite tende a $-infty$ , devo considerare a prescindere i valori negativi del modulo, oppure in questo caso col cambio di variabile non tende a $0$ ma a $0-$ ?
Volevo poi chiedervi un'altra cosa, sempre riguardante questo limite, guardando lo svolgimento di wolfram, ho notato di essermi complicato la vita, perchè bastava portare la $x$ del denominatore dentro la radice e raccogliere per $x^2$ , però portando dentro, wolfram cambia il segno della funzione, che regola ha utilizzato? C'entra il fatto che il limite tende a $-oo$ ?
Grazie mille!
Vi posto l'immagine dello svolgimento che fa wolfram per risultare più chiaro.
Risposte
Semplicemente:
Se proprio vuoi fare la sostituzione:
e quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \sim \frac{{\left| x \right|}}{x} = - 1\]
Se proprio vuoi fare la sostituzione:
$t=1/x$ con $t->0^-$
e quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{t^{ - 2}} + 1} }}{{{t^{ - 1}}}} \sim \frac{{\left| {{t^{ - 1}}} \right|}}{{{t^{ - 1}}}} = - 1\]
Anche così va bene:
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+1)/x$
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2(1+1/x^2))/x$
$lim_(x->-infty)(|x|sqrt(1+1/x^2))/x$
$lim_(x->-infty)(-xsqrt(1+1/x^2))/x=-1$
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+1)/x$
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2(1+1/x^2))/x$
$lim_(x->-infty)(|x|sqrt(1+1/x^2))/x$
$lim_(x->-infty)(-xsqrt(1+1/x^2))/x=-1$
Si potrebbe scrivere anche così?
$lim_(x->-infty)(sqrt(x^2+1))/x=lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+1))/(-x)=lim_(x->+infty)x/(-x)=-1$
$lim_(x->-infty)(sqrt(x^2+1))/x=lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+1))/(-x)=lim_(x->+infty)x/(-x)=-1$
Scusa il limite è per $x->-oo$ e non a $+oo$
Appunto, dato che $(-infty)^2=+infty$ ed $-(+infty)=-(-infty)$, pensavo che si poteva scrivere il limite in modo equivalente,
sostituendo $+infty$ a $-infty$,e quindi diventa $lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+1))/(-x)=lim_(x->+infty)x/(-x)=-1$
sostituendo $+infty$ a $-infty$,e quindi diventa $lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+1))/(-x)=lim_(x->+infty)x/(-x)=-1$
"francicko":
Appunto, dato che $(-infty)^2=+infty$ ed $-(+infty)=-(-infty)$, pensavo che si poteva scrivere il limite in modo equivalente,
sostituendo $+infty$ a $-infty$,e quindi diventa $lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+1))/(-x)=lim_(x->+infty)x/(-x)=-1$
Assolutamente no, è concettualmente sbagliato: $lim_(x->-oo)$ indica il limite della funzione "sulla sinistra del grafico", mentre $lim_(x->+oo)$ indica il limite della funzione "sulla destra del grafico", cioè staresti spostando lo studio verso un'altra parte del grafico - e il limite sarebbe sbagliato, perché
$lim_(x->+oo) f(x)= sqrt(x^2+1)/x=1$
e non
\[\color{red}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{ - x}} = - 1}\]
x@Brancaleone.
Hai ragione,sei stato chiarissimo!
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