Limite complicato

[beluga1]

Buongiorno, vorrei sottoporvi il seguente limite di successione, che mi sta creando non pochi problemi:

$\lim_{n \to \infty}(n^2)(root(4)((2n^2+3)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+3)/(n^3+1)))$
Ho provato a razionalizzare, ma alla fine mi viene un risultato impossibile....
Il risultato è $root(4)(2)/8$

[Bokonon]

de l'Hôpital?

[beluga1]

Alla fine ho risolto da solo. Razionalizzavo in modo poco conveniente e mi portavo dietro delle radici quadrate, con annessi calcoli in più necessari a risolvere il limite. Visto che potrebbe tornare utile a qualcuno, posto la mia soluzione:

$\lim_{n \to \infty}(n^2)(root(4)((2n^2+3)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+3)/(n^3+1))) = \lim_{n \to \infty}n^2(root(4)((2n^2+3)/(n^2+1))root(4)(((2n^2+3)/(n^2+1))^3)/root(4)(((2n^2+3)/(n^2+1))^3) - root(4)((2n^3+3)/(n^3+1)) * root(4)(((2n^3+3)/(n^3+1))^3)/root(4)(((2n^3+3)/(n^3+1))^3))$

Equivalenze asintotiche:
$2n^2+3= 2n^2.
n^2+1=n^2.
2n^3+3=2n^3.
n^3+1=n^3$

Le radici ai denominatori si riducono quindi a $root(4)(2^3)$. Portando $n^2$dentro le radici e raccogliendo i denominatori si ottiene:
$\lim_{n \to \infty}1/root(4)(2^3) * ((2n^4+3n^2)/(n^2+1) - (2n^5+3n^2)/(n^3+1)) =$
$\lim_{n \to \infty}1/root(4)(2^3) * ((2n^7+2n^4+3n^5+3n^2-2n^7-2n^5-3n^4 -3n^2)/(n^5+n^3+n^2+1)) =
\lim_{n \to \infty}1/root(4)(2^3)((n^5-n^4)/(n^5+n^3+n^2+1))=\lim_{n \to \infty}1/root(4)(2^3)*1 = (root(4)(2))/8$

[pilloeffe]

Ciao beluga,

Riscriverei il limite proposto nella forma seguente:

$\lim_{n \to \infty} n^2(root(4)((2n^2+3)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+3)/(n^3+1))) = \lim_{n \to \infty}\frac{root(4)((2n^2+2 + 1)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+2 + 1)/(n^3+1))}{1/n^2} = $
$ = \lim_{n \to \infty}\frac{root(4)((2n^2+2 + 1)/(n^2+1)) - root(4)((2n^3+2 + 1)/(n^3+1))}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{root(4)(2 + 1/(n^2+1)) - root(4)(2 + 1/(n^3+1))}{1/n^2} = $
$ = \lim_{n \to \infty}\frac{root(4)(2 + 1/(n^2+1)) - root[4]{2} - (root(4)(2 + 1/(n^3+1)) - root[4]{2} )}{1/n^2} = $
$ = root[4]{2} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{root(4)(1 + 1/(2(n^2+1))) - 1 - (root(4)(1 + 1/(2(n^3+1))) - 1)}{1/n^2} = $
$ = root[4]{2} \cdot [\lim_{n \to \infty} \frac{root(4)(1 + 1/(2(n^2+1))) - 1}{1/(2(n^2+1))) \cdot \frac{1/(2(n^2+1))}{1/n^2} - \lim_{n \to \infty}\frac{(root(4)(1 + 1/(2(n^3+1))) - 1)}{1/(2(n^3+1))} \cdot \frac{1/(2(n^3+1))}{1/n^2}] = $
$ = root[4]{2} \cdot [1/4 \cdot 1/2 - 1/4 \cdot 0 ] = root[4]{2}/8$