Limite complesso
Ciao.
Mi sono imbattuto in in un limite piuttosto complesso e spero proprio possiate aiutarmi a capire come risolverlo.
$lim_(x->-infty)root(8)(x^8 + x^7) + x + log(1-x)/x$
Io ho pensato di usare la tecnica dello sviluppo di Taylor ma mi sembra difficile...
Potete aiutarmi?
La risposta attesa è $1/8$
Grazie.
Raffaele
Mi sono imbattuto in in un limite piuttosto complesso e spero proprio possiate aiutarmi a capire come risolverlo.
$lim_(x->-infty)root(8)(x^8 + x^7) + x + log(1-x)/x$
Io ho pensato di usare la tecnica dello sviluppo di Taylor ma mi sembra difficile...
Potete aiutarmi?
La risposta attesa è $1/8$
Grazie.
Raffaele
Risposte
Allora, intanto:
\[\lim_{ x \to - \infty} {\frac{ \ln (1 - x)}{x}} = 0 \]
(è quasi un limite notevole. Questa sera è comparso in 3 discussioni diverse)
Poi, ponendo \( n = - x \), abbiamo che:
\[ \lim_{ x \to - \infty} { \sqrt[8]{x^8 + x^7} + x} = \lim_{ n \to + \infty} { \sqrt[8] {n^8 - n^7} - n} \]
Notando che, dati \( a,b \in \mathbb{R} \):
\[\begin{aligned} \left (a^8 - b^8 \right) &= \left (a^4 - b^4 \right ) \left ( a^4 + b^4 \right ) \\ &= \left (a^2 - b^2 \right ) \left (a^2 + b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right ) \\ &= (a - b) (a + b) \left (a^2 +b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right ) \end{aligned} \]
Otteniamo una relazione utile per la risoluzione del limite, ovvero:
\[ (a - b) = \frac{ \left (a^8 - b^8 \right )}{(a + b) \left (a^2 +b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right )} \]
Infatti, se \( a = \sqrt[8] {n^8 - n^7}, \ b = n \):
\[ \begin{aligned} \lim_{ n \to + \infty} { \sqrt[8] {n^8 - n^7} - n} &= \lim_{n \to + \infty} { \frac{ \left (n^8 - n^7 - n^8 \right )}{ \left(\sqrt[8]{n^8 - n^7} + n \right)\left (\sqrt[4] {n^8 - n^7} +n^2 \right ) \left (\sqrt[2]{n^8 - n^7} + n^4 \right )}} \\ &= \lim_{n \to + \infty} { \frac{ -n^7}{ n^7 \left(\sqrt[8]{1- \frac{1}{n}} + 1 \right)\left (\sqrt[4] {1 - \frac{1}{n}} +1 \right ) \left (\sqrt[2]{1 - \frac{1}{n}} + 1 \right )}} \\ &= - \frac{1}{8} \end{aligned} \]
Wolfram Alpha conferma il \( - \). Sicuro di non esserti dimenticato un \( - \) nel risultato atteso?
\[\lim_{ x \to - \infty} {\frac{ \ln (1 - x)}{x}} = 0 \]
(è quasi un limite notevole. Questa sera è comparso in 3 discussioni diverse)
Poi, ponendo \( n = - x \), abbiamo che:
\[ \lim_{ x \to - \infty} { \sqrt[8]{x^8 + x^7} + x} = \lim_{ n \to + \infty} { \sqrt[8] {n^8 - n^7} - n} \]
Notando che, dati \( a,b \in \mathbb{R} \):
\[\begin{aligned} \left (a^8 - b^8 \right) &= \left (a^4 - b^4 \right ) \left ( a^4 + b^4 \right ) \\ &= \left (a^2 - b^2 \right ) \left (a^2 + b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right ) \\ &= (a - b) (a + b) \left (a^2 +b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right ) \end{aligned} \]
Otteniamo una relazione utile per la risoluzione del limite, ovvero:
\[ (a - b) = \frac{ \left (a^8 - b^8 \right )}{(a + b) \left (a^2 +b^2 \right ) \left (a^4 + b^4 \right )} \]
Infatti, se \( a = \sqrt[8] {n^8 - n^7}, \ b = n \):
\[ \begin{aligned} \lim_{ n \to + \infty} { \sqrt[8] {n^8 - n^7} - n} &= \lim_{n \to + \infty} { \frac{ \left (n^8 - n^7 - n^8 \right )}{ \left(\sqrt[8]{n^8 - n^7} + n \right)\left (\sqrt[4] {n^8 - n^7} +n^2 \right ) \left (\sqrt[2]{n^8 - n^7} + n^4 \right )}} \\ &= \lim_{n \to + \infty} { \frac{ -n^7}{ n^7 \left(\sqrt[8]{1- \frac{1}{n}} + 1 \right)\left (\sqrt[4] {1 - \frac{1}{n}} +1 \right ) \left (\sqrt[2]{1 - \frac{1}{n}} + 1 \right )}} \\ &= - \frac{1}{8} \end{aligned} \]
Wolfram Alpha conferma il \( - \). Sicuro di non esserti dimenticato un \( - \) nel risultato atteso?
Ciao,
anche a me viene con il segno negativo.
Comunque in questo caso ti conviene parecchio usare Taylor:
$lim_(x->-infty)root(8)(x^8 + x^7) + x + log(1-x)/x \ = \ \ lim_(x->-infty) x (-root(8)(1 + 1/x) + 1) \ =\ lim_(x->-infty) x (-1/(8x) + o(1/x)) = -1/8$
anche a me viene con il segno negativo.
Comunque in questo caso ti conviene parecchio usare Taylor:
$lim_(x->-infty)root(8)(x^8 + x^7) + x + log(1-x)/x \ = \ \ lim_(x->-infty) x (-root(8)(1 + 1/x) + 1) \ =\ lim_(x->-infty) x (-1/(8x) + o(1/x)) = -1/8$
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