Limite complesso

[baldo891]

dire se il limite esiste e poi calcolarlo. (non ho la soluzione) il risultato secondo mathematica è 0
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} sqrt(n)sin(x)/(n^2+x^2)dx$

[Rigel1]

Direi che Mathematica ha ragione: quegli integrali sono tutti nulli, visto che la funzione integranda (che è integrabile in senso generalizzato) è una funzione dispari per ogni \(n\) naturale positivo.

[baldo891]

scusami, ho sbagliato a scrivere l'estremo di integrazione inferiore è zero, adesso modifico

[j18eos]

Scusa, ma:
\[
\lim_n\left|\int_0^{+\infty}\sqrt{n}\frac{\sin x}{n^2+x^2}dx\right|\leq\lim_n\int_0^{+\infty}\sqrt{n}\frac{|\sin x|}{n^2+x^2}dx\leq\lim_n\int_0^{+\infty}\sqrt{n}\frac{1}{n^2+x^2}dx=\\
=\lim_nn^{-\frac{1}{2}}\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{n}\right)^2}d\left(\frac{x}{n}\right)=\lim_n\lim_{x\to+\infty}n^{-\frac{1}{2}}\int_0^x\frac{1}{1+\left(\frac{t}{n}\right)^2}d\left(\frac{t}{n}\right)=\\
=\lim_n\lim_{x\to+\infty}n^{-\frac{1}{2}}\left(\arctan\left(\frac{x}{n}\right)-\arctan0\right)=\lim_nn^{-\frac{1}{2}}\frac{\pi}{2}=0
\]
Ho fatto i calcoli senza controllare le plausibili convergenze dei termini considerati.

[baldo891]

grande! rimane da dire che alche il limite di partenza che ho scritto io va a zero per una conseguenza del teorema dei 2 carabinieri.

[j18eos]

"baldo89":grande!...

Esagerato, per così poco. : )