Limite, come svolgerlo?
Ciao a tutti gli utenti, cerco un aiuto per risolvere limiti del genere,vorrei chiedervi non solo come sia giusto svolgerlo ma capire perché la tecnica che uso è evidentemente sbagliata (non essendo il risultato corretto). Vorrei cioè capire l'errore e vi ringrazio.
$lim x->∞ (3-sin(1/x))1/x$
avendo intravisto un limite notevole ho pensato di usare l'equivalenza asintotica che ne discende e ottenere:
$lim x->∞ (3-(1/x))1/x$
e dato che 1/x->0 per x->∞
$lim x->∞ (3-0)*0=0$
1- Non capisco perché tale metodo sia sbagliato
2- E come seconda cosa vorrei chiedervi quale sia quello giusto.
Spero abbiate voglia di rispondere alle due domande che mi tornemtano, grazie.
$lim x->∞ (3-sin(1/x))1/x$
avendo intravisto un limite notevole ho pensato di usare l'equivalenza asintotica che ne discende e ottenere:
$lim x->∞ (3-(1/x))1/x$
e dato che 1/x->0 per x->∞
$lim x->∞ (3-0)*0=0$
1- Non capisco perché tale metodo sia sbagliato
2- E come seconda cosa vorrei chiedervi quale sia quello giusto.
Spero abbiate voglia di rispondere alle due domande che mi tornemtano, grazie.
Risposte
Ma in realtà neanche c'è bisogno di scomodare i limiti notevoli, $\sin \left(\frac{1}{x} \right)$ tende a $0$ per $x\to \infty$ e anche $\frac{1}{x}$; quindi tutto tende dolcemente a zero senza forme indeterminate.
Pertanto non vedo errori in ciò che hai fatto, o è una svista delle soluzioni oppure hai letto male il testo (capita ogni tanto).
Se vuoi anche altre conferme puoi usare il teorema dei due carabinieri: essendo $-1 \leq \sin \left(\frac{1}{x} \right) \leq 1$, hai che
$$ \frac{2}{x} \leq \left(3- \sin \left(\frac{1}{x} \right) \right) \frac{1}{x} \leq \frac{4}{x}$$
Passando al limite nella disuguaglianza ottieni
$$0 \leq \lim_{x\to \infty} \left(3- \sin \left(\frac{1}{x} \right) \right) \frac{1}{x} \leq 0$$
E quindi quel limite è zero.
Pertanto non vedo errori in ciò che hai fatto, o è una svista delle soluzioni oppure hai letto male il testo (capita ogni tanto).
Se vuoi anche altre conferme puoi usare il teorema dei due carabinieri: essendo $-1 \leq \sin \left(\frac{1}{x} \right) \leq 1$, hai che
$$ \frac{2}{x} \leq \left(3- \sin \left(\frac{1}{x} \right) \right) \frac{1}{x} \leq \frac{4}{x}$$
Passando al limite nella disuguaglianza ottieni
$$0 \leq \lim_{x\to \infty} \left(3- \sin \left(\frac{1}{x} \right) \right) \frac{1}{x} \leq 0$$
E quindi quel limite è zero.
Grazie, probabilmente avevo copiato male dalla lavagna. Effettivamente hai ragione il limite notevole è inutile essendo $lim_(x->0) sinx =0$.Grazie per gli ulteriori spunti.
Mi piacerebbe poterti porre una ulteriore domanda che penso derivi sempre da una copiatura sbagliata, il professore aveva scritto l'equivalenza asintotica per x->infinito
$(3−sin(1/x))1/x$ che diventa $(3)1/x$ cioè conclude che la forma iniziale è asintoticamente equivalente a $3/x$, tuttavia credo di aver fatto un altro errore colsenno di poi a me non pare che 3−sin(1/x) sia asintoticamente equivalente a 3e poi moltiplicare per 1/x
Mi sembra più corretto svolgere: $(3−sin(1/x))1/x=3/x-1/x^2$ dove ho applicato l'eq. asintotica del seno e moltiplicato per 1/n.
Da questa forma posso dedurre per confronto dell'ordine di infinitesimi che la forma iniziale è asintoticamente equivalente (trascuro 1/x^2): $3/x$
Cosa ne pensi?
Mi piacerebbe poterti porre una ulteriore domanda che penso derivi sempre da una copiatura sbagliata, il professore aveva scritto l'equivalenza asintotica per x->infinito
$(3−sin(1/x))1/x$ che diventa $(3)1/x$ cioè conclude che la forma iniziale è asintoticamente equivalente a $3/x$, tuttavia credo di aver fatto un altro errore colsenno di poi a me non pare che 3−sin(1/x) sia asintoticamente equivalente a 3e poi moltiplicare per 1/x
Mi sembra più corretto svolgere: $(3−sin(1/x))1/x=3/x-1/x^2$ dove ho applicato l'eq. asintotica del seno e moltiplicato per 1/n.
Da questa forma posso dedurre per confronto dell'ordine di infinitesimi che la forma iniziale è asintoticamente equivalente (trascuro 1/x^2): $3/x$
Cosa ne pensi?
Uno di solito fa ad occhio il passaggio che dici tu. Si vede che il termine dominante nell'infinitesimo è quello che si ottiene dal prodotto con la costante $3$.
Grazie Seneca 
Non mi tornava quel 3 dei miei appunti dove ho scritto che è asintoticamente equivalente a (3-sin(1/x)) evidentemente ho sbagliato a prendere appunti perché direi che non ha senso.
Non mi tornava quel 3 dei miei appunti dove ho scritto che è asintoticamente equivalente a (3-sin(1/x)) evidentemente ho sbagliato a prendere appunti perché direi che non ha senso.
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