Limite che non risulta !
$\lim_{x \to \+infty}(\e\^x+\e\^(3x))^(1/x)$
ho provato in 2 modi :
1.$\lim_{x \to \+infty}\e\^x(1+\e\^(-2x))(1/x)=\e\^x(1+1/ \e\^(2x))^(1/x)=\e\^x 0 $ (forma indeterminata )
2.$\lim_{x \to \+infty} (1+1/\e\^(-2x))^(\e\^(-2x))=\e\$
all'esponente ottengo :
$(1/(x\e\^(-2x))=\e\^(2x)/x$
applico de L'hopital
$\e\^(2x)/x=2\e\^2x=+infty$
$\lim_{x \to \+infty}(\e\^x+\e\^(3x))^(1/x)=\e\^(+infty)=+infty$
chiedo conferma perché wolfram mi dà come risultato e , che non compare tra le 5 soluzioni ( + infty , o , e^3 ,-infty, nessuna delle altre ) ..
E'giusto il mio risultato grazie in anticipo !
ho provato in 2 modi :
1.$\lim_{x \to \+infty}\e\^x(1+\e\^(-2x))(1/x)=\e\^x(1+1/ \e\^(2x))^(1/x)=\e\^x 0 $ (forma indeterminata )
2.$\lim_{x \to \+infty} (1+1/\e\^(-2x))^(\e\^(-2x))=\e\$
all'esponente ottengo :
$(1/(x\e\^(-2x))=\e\^(2x)/x$
applico de L'hopital
$\e\^(2x)/x=2\e\^2x=+infty$
$\lim_{x \to \+infty}(\e\^x+\e\^(3x))^(1/x)=\e\^(+infty)=+infty$
chiedo conferma perché wolfram mi dà come risultato e , che non compare tra le 5 soluzioni ( + infty , o , e^3 ,-infty, nessuna delle altre ) ..
E'giusto il mio risultato grazie in anticipo !
Risposte
Uhm riprova a fare i calcoli.. perché anche Wolfram non conferma 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 2Binfinity
Io proverei a riscrivere in questa forma il limite:
$lim_(x->+infty) e^(log(e^x+e^(3x))/x)$
Da qui all'esponente puoi usare de l'Hopital
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 2Binfinity
Io proverei a riscrivere in questa forma il limite:
$lim_(x->+infty) e^(log(e^x+e^(3x))/x)$
Da qui all'esponente puoi usare de l'Hopital
Luca hai fatto un casino con il calcoli 
come ci è finito quel $e^\text{qualcosa}$ all'esponente? E poi non puoi usare così De l'Hopital 
In ogni caso, se il tuo risultato fosse stato corretto, non è vero che questo non compare tra le 5 soluzioni: "nessuna delle altre" vuol dire $l\in RR \setminus { 0, e^3}$ oppure che $\nexists l$
($l$ è il limite)
come ci è finito quel $e^\text{qualcosa}$ all'esponente? E poi non puoi usare così De l'Hopital In ogni caso, se il tuo risultato fosse stato corretto, non è vero che questo non compare tra le 5 soluzioni: "nessuna delle altre" vuol dire $l\in RR \setminus { 0, e^3}$ oppure che $\nexists l$
($l$ è il limite)
Ciao. A me risulta _$e^3$.
[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( e^x+e^{3x} \right )^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^3\cdot \left ( e^{-2x}+1 \right )^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^3\cdot \left [ \left ( 1+\frac{1}{e^{2x}} \right )^{e^{2x}} \right ]^{\frac{1}{x\cdot e^{2x}}}[/tex][/size]_;
la quantità entro parentesi quadra tende ad _$e$_ in quanto è del tipo:_[tex]\lim_{t\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{t}[/tex]_, il suo esponente tende a $0$, quindi tutto quello che segue_$e^3$_tende a 1. Sbaglio?
[size=120][tex]\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( e^x+e^{3x} \right )^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^3\cdot \left ( e^{-2x}+1 \right )^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^3\cdot \left [ \left ( 1+\frac{1}{e^{2x}} \right )^{e^{2x}} \right ]^{\frac{1}{x\cdot e^{2x}}}[/tex][/size]_;
la quantità entro parentesi quadra tende ad _$e$_ in quanto è del tipo:_[tex]\lim_{t\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{t}[/tex]_, il suo esponente tende a $0$, quindi tutto quello che segue_$e^3$_tende a 1. Sbaglio?
Risulta anche a me. Riscrivo innanzitutto il limite come ha fatto Obidream,
\[\lim_{x\to +\infty}\exp{\left(\dfrac{\log(e^x+e^{3x})}{x} \right)}\]
Non ci resta che calcolare il limite dell'argomento dell'exp (ometto $+\infty$ ):
\[\lim\dfrac{\log(e^x+e^{3x})}{x} =\lim \dfrac{\log\left(e^{3x}(e^{-2x}+1)\right)}{x}=\lim \dfrac{\log(1+e^{-2x})+\log e^{3x}}{x} =\ast\]
Per $x\to +\infty$, $\log(1+e^{-2x})\sim e^{-2x}$:
\[\ast =\lim \dfrac{e^{-2x}+3x}{x}=\lim \dfrac{e^{-2x}}{x}+\lim\dfrac{3x}{x}=0+3=3 \]
Quindi il limite iniziale è $e^3$.
\[\lim_{x\to +\infty}\exp{\left(\dfrac{\log(e^x+e^{3x})}{x} \right)}\]
Non ci resta che calcolare il limite dell'argomento dell'exp (ometto $+\infty$
):\[\lim\dfrac{\log(e^x+e^{3x})}{x} =\lim \dfrac{\log\left(e^{3x}(e^{-2x}+1)\right)}{x}=\lim \dfrac{\log(1+e^{-2x})+\log e^{3x}}{x} =\ast\]
Per $x\to +\infty$, $\log(1+e^{-2x})\sim e^{-2x}$:
\[\ast =\lim \dfrac{e^{-2x}+3x}{x}=\lim \dfrac{e^{-2x}}{x}+\lim\dfrac{3x}{x}=0+3=3 \]
Quindi il limite iniziale è $e^3$.
ho capito l'errore grazie a tutti !!!
restando in tema Limiti ne progongo un altro per verifica del procedimento :
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/x)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/(x-3+3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/(x-3)+(x-3)/3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}(1+(x-3)/3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}(1+1/(3/-(x-3)))^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}[(1+1/(3/-(x-3)))^(3/-(x-3))]^[(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))]$
$\lim_{x \to \+infty}\e\^[(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))]$
$\lim_{x \to \+infty}(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))$
al numeratore viene una forma indeterminata -infty per +infty ..come la elimino( anche se capovolgo la frazione resta ancora ) ??
grazie ancora
grazie ancora
restando in tema Limiti ne progongo un altro per verifica del procedimento :
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/x)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/(x-3+3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/(x-3)+(x-3)/3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}(1+(x-3)/3)^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}(1+1/(3/-(x-3)))^(sqrt(\e\^x))$
$\lim_{x \to \+infty}[(1+1/(3/-(x-3)))^(3/-(x-3))]^[(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))]$
$\lim_{x \to \+infty}\e\^[(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))]$
$\lim_{x \to \+infty}(-(x-3)/3)(sqrt(\e\^x))$
al numeratore viene una forma indeterminata -infty per +infty ..come la elimino( anche se capovolgo la frazione resta ancora ) ??
grazie ancora
grazie ancora
mmm io ho fatto così:
ho raccolto la x al denominatore e viene
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{x \left(1 - 3/x \right)}{x} ^{\sqrt{e^{x}}}[/tex]
[tex]3/x \rightarrow 0[/tex] mentre [tex]\sqrt{e^{x}}[/tex] tende a + infinito. Quindi è come se avessi [tex]1^{\infty}[/tex]. Quindi il tutto va infinito.
ho raccolto la x al denominatore e viene
[tex]\lim _{x \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{x \left(1 - 3/x \right)}{x} ^{\sqrt{e^{x}}}[/tex]
[tex]3/x \rightarrow 0[/tex] mentre [tex]\sqrt{e^{x}}[/tex] tende a + infinito. Quindi è come se avessi [tex]1^{\infty}[/tex]. Quindi il tutto va infinito.
puoi ripostarlo ??, sarà scritto in mdo sbagliato e non si vede !
Raccogliendo x al numeratore ottieni [tex]\dfrac{x(1 - \dfrac{3}{x})}{x}[/tex].
Le x si semplificano e ti rimane [tex]1 - \dfrac{3}{x}[/tex].
[tex]3/x \rightarrow 0[/tex] mentre [tex]\sqrt{e^{x}}[/tex] tende a infinito. Quindi hai una forma [tex]1^{+\infty}[/tex] che tende a infinito.
Il limite è infinito.
Le x si semplificano e ti rimane [tex]1 - \dfrac{3}{x}[/tex].
[tex]3/x \rightarrow 0[/tex] mentre [tex]\sqrt{e^{x}}[/tex] tende a infinito. Quindi hai una forma [tex]1^{+\infty}[/tex] che tende a infinito.
Il limite è infinito.
Se volevi evitare ''calcoli'', potevi benissimo dire che la frazione è composta da funzioni dello stesso ordine e, per il criterio degli infinitesimi, per x che tende a zero tutta la frazione tende a un certo l diverso da zero. Siccome poi hai un esponente che tende a infinito, tutto ti va a infinito a prescindere di quanto si l
ok grazie!
@m92c: $1^{+\infty}$ è indeterminato, non vale $+\infty$.
@luca
\[\lim \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{\sqrt{e^x}}=\lim \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{\sqrt{e^x} \cdot\frac{-3x}{-3x}}=\lim \left[\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^{-3x}\right]^{\frac{\sqrt{e^x}}{-3x}}\]
Quello che sta nella parentesi quadra tende ad $e$, mentre l'esponente va a $-\infty$: il tutto tende a $0$.
@luca
\[\lim \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{\sqrt{e^x}}=\lim \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{\sqrt{e^x} \cdot\frac{-3x}{-3x}}=\lim \left[\left(1-\dfrac{3}{x}\right)^{-3x}\right]^{\frac{\sqrt{e^x}}{-3x}}\]
Quello che sta nella parentesi quadra tende ad $e$, mentre l'esponente va a $-\infty$: il tutto tende a $0$.
"Plepp":
@m92c: $1^{+\infty}$ è indeterminato, non vale $+\infty$.
Ciao Giuseppe, sono qui per imparare e mi rimangono alcune perplessità sulla tua affermazione: quanto vale $1^(oo)$?, allora penso moltiplico 1, proprio 1, per se stesso tantissime volte, ancora di più, sempre di più, ma mi viene sempre 1, dove sbaglio?
Se invece avessi quasi 1, un po' meno di 1 e lo moltiplico per se stesso tante volte ecc mi viene un numero sempre più piccolo quasi 0, se invece è un po' più di 1, allora moltiplicandolo per se stesso diventa sempre più grande.
Ho detto delle stupidaggini?
Ciao Gio un controesempio adatto ed abbastanza conosciuto potrebbe essere $lim_(x->+infty) (1-1/x)^x=e$
un controesempio adatto ed abbastanza conosciuto potrebbe essere $lim_(x->+infty) (1-1/x)^x=e$
"LucaC":
ho capito l'errore grazie a tutti !!!
restando in tema Limiti ne progongo un altro per verifica del procedimento :
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/x)^(sqrt(\e\^x))$
scusate io avrei fatto più semplicemente così
$\lim_{x \to \+infty}((x-3)/x)^(sqrt(\e\^x))=\lim_{x \to \+infty} \exp(sqrt(e^x)\ln((x-3)/(x)))=\lim_{x \to \+infty} \exp(sqrt(e^x)\ln(1-3/x))$
ora per $x\rightarrow+\infty$
$ sqrt(e^x)\ln(1-3/x)= sqrt(e^x)(-3/x+o(1/x))\sim -(3sqrt(e^x))/(x) \rightarrow -\infty$ per $x\rightarrow+\infty$
quindi hai $\lim_{x\rightarrow+\infty} e^{-\infty}=0$
"Obidream":
Ciao Gio
Ciao Obi, credo di aver capito, ma non dovrebbe esserci + dentro la frazione?
Certo in quel caso sarebbe $1/e$ credo, scusami errore mio!
Ciao Gio sinceramente non mi sono mai posto in maniera seria il problema. Cosi, di getto, mi vien da dire che
\[[1^{+\infty}]=1\implies [\log_1 +\infty]=\log_1 1=\text{"tutto e niente"}\]
Ciao
sinceramente non mi sono mai posto in maniera seria il problema. Cosi, di getto, mi vien da dire che\[[1^{+\infty}]=1\implies [\log_1 +\infty]=\log_1 1=\text{"tutto e niente"}\]
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo