Limite che non riesco a risolvere.

[boerobest]

Ciao a tutti ragazzi.
Ho un problema con questo limite:
$lim_(x->3)(sin( \pi x)/(x-3))$
Non posso usare de L'Hopital, nemmeno infiniti e infinitesimi. Principalmente limiti notevoli e teoremi principali, quali confronto, limitatezza,...
Ho provato a moltiplicare e dividere per 3 $\pi$ (è corretto? il sin tende a 0), ma facendo così ottengo +infinito, mentre la risposta è -$\pi$ .
Grazie a tutti, buona serata!

[@melia]

Basta porre $x-3=t$, il limite si trasforma
$lim_(x->3)(sin( \pi x)/(x-3))=lim_(t->0)(sin( pi t+3 pi)/t)=lim_(t->0) (sinpitcos3pi+sin3picos pi t)/t=$
$=lim_(t->0) (-sin pit)/t= lim_(t->0) pi(-sin pit)/(pi t) = -pi$

[boerobest]

Grazie mille! Ero arrivato al secondo passaggio, poi mi sono dimenticato di usare le formule! Grazie mille!

[francicko]

Se poni $(x-3)=t $, e quindi $x=t+3$, il limite diventa:

$lim_(t->0)sin (pi×(t+3))/t $ $=lim_(t->0)sin (pit+3pi)/t $
a questo punto applicando le note formule di addizione del seno
avremo:
$lim_(t->0)(sin (tpi)cos(3pi)+cos(tpi)sin(3pi))/t $ $=lim_(t->0)(sin (tpi)×(-1)+0)/t$ $=lim_(t->0)(-sin(pit))/t $ $=(-pi)×lim_(t->0)sin(pit)/(pit)=(-pi)×1=-pi $