Limite che non converge...

[curie88]

Ciao a tutti e Buona Domenica,
Considerando l area di $1/4$ di cerchio(in questo caso) come la media aritmetica,
di tutti i segmenti paralleli al raggio di base, moltiplicata per il raggio stesso(che assumiamo unitario) si trova la formula:

$\lim_{n->+\infty}\sum_{k=0}^{n}\sqrt(1-y^2)/n = \pi/4$

Dove si pone $y=k/n$ oppure che è lo stesso: $x=k/n=y$

Ora se al posto di $x$ si sostituisce $x=cos(t)$, con $0<=t<=\pi/2$, si ottiene invece:

$\lim_{n->+\infty}\sum_{k=0}^{n}( cos(\pi*k/(2n)))/n=2/\pi$

Non trovo motivo per cui il risultato debba essere differente, l` unica mia spiegazione è che non si riescono a sommare tutti i segmenti...

[anto_zoolander]

Il fatto è che per come lo scrivi inizialmente quel limite fa:

$lim_(n->+infty)1/n sum_(k=0)^(n)sqrt(1-y^2)=lim_(n->+infty)(n+1)/nsqrt(1-y^2)=sqrt(1-y^2)$

[curie88]

Si hai ragione, in effetti bisogna specificare che $y$ varia con $k$ ovvero avrei fatto meglio a scrivere $y_k$
È anche vero che sotto ho indicato $y=k/n$
Il punto è che nella seconda formula la $x$ la ricavo come $x(t) = sqrt(1-y^2) = sqrt(1-sin(t)^2) = cos(t)$
Pongo poi $t= k/n*\pi/2$, cioe:
$$x_k = cos(k/n*\pi/2)$$
Quello che non ho chiaro èil perche sostituendo la x dipendente da k ed eseguendo la stessa sommatoria i conti non tornino come inizialmente.
Grazie per gli interventi.

[anto_zoolander]

Ma tu sei sicuro di star facendo cose lecite?

Fino a $y_k=k/n$ possiamo anche essere d'accordo.
Successivamente assumi $y_k=cos(t)$ con $t in[0,pi/2]$ ma non ne capisco il motivo.
È come se ponessi

$k/n=cos(t)$ e questa è vera solo quando $cos(t)$ è al più razionale. Quello che voglio dirti è che per $t in[0,pi/2]$ questa non è un'identità. Ci sono infiniti valori per la quale $k/n ne cos(t)$ è un particolare se poni $A={t in [0,pi/2]: cos(t) inRR-QQ}$

Questo è non vuoto poiché $t=sqrt2/2inA$

Dunque per ogni elemento di $A$ l'uguaglianza non è verificata per alcun valore di $y_k$. Quindi dovresti quantomeno definirla meglio

[curie88]

"anto_zoolander":Ma tu sei sicuro di star facendo cose lecite?
Fino a $y_k=k/n$ possiamo anche essere d'accordo.
Successivamente assumi $y_k=cos(t)$ con $t in[0,pi/2]$ ma non ne capisco il motivo.

Non ero troppo sicuro, ed il motivo era lo stesso che tu mi hai fatto notare. In verità ho creduto erroneamente che se si consideravano infiniti valori, l errore commesso era per lo più trascurabile.
In effetti non resta altra spiegazione oltre a questa che mi fai notare, ma rimane ancora un elemento da chiarire:
Perché possiamo essere d accordo che è lecito porre $ y_k = k/n$ ? Infatti anche qui stiamo tentando di associare numeri reali a numeri razionali. Forse qui il margine d ` errore è trascurabile?
Il motivo per cui ho eseguito quel calcolo era per verifica.

[anto_zoolander]

Semplicemente hai definito una successione di razionali.
Di fatto $n$ lo assumi fissato e fai variare $k$ quindi ottieni una cosa del tipo

$0,1/n,2/n,...,k/n$ con $k inNN$

Quindi non c'è nulla di brutto nella tua posizione. Di fatto è una successione di reali, i particolare, razionali.

[curie88]

Ma anche qui alcuni segmenti reali, non vengono sommati, dovrebbero essere sommati solamente quella classe di numeri reali che appartengo all` insieme dei razionali...
In sostanza anche nellla prima formula non si ottiene $\pi/4$? Ma un valore inferiore?

[anto_zoolander]

Ma tu infatti ottieni $sqrt(1-(y_k)^2)$

$1/nsum_(k=0)^(n)sqrt(1-(y_k)^2)$

[curie88]

Eppure converge a $\pi/4$, l integrale di Riemann, associato a questo limite da te scritto nel post di ieri.

[anto_zoolander]

Allora ti spiego quella che secondo me potrebbe essere la soluzione.

Considera la funzione $f(x)=sqrt(n^2-x^2) forallx in[0,n]$

Considera adesso una suddivisione di $[0,n]$
$P={x_0,...,x_k}$ con $0=x_0
Considero la partizione $P_1=[x_0,x_1),...,P_(k-1)=[x_(k-2),x_(k-1)),P_k=[x_(k-1),x_k]$

Ora $f$ è continua, dunque è integrabile su $[0,n]$ per tanto somme superiori e inferiori coincidono. In particolare mi concentro sulla somma superiore. Com'è fatta?

Beh per definizione $S_n=(b-a)/n sum_(i=1)^(n)Sup_(x in P_i)(f)$

Cominciamo con il notare che $b-a=n$ poiché il nostro intervallo è $[0,n]$

La funzione $f$ è decrescente su tutto $[0,n]$ e in particolare $Sup_(x inP_i)(f)=sqrt(n^2-(x_(i-1))^2)$

Dunque abbiamo che $S_n=sum_(i=1)^(n)sqrt(n^2-(x_(i-1)^2)$

Poiché $f$ è integrabile si ha che $lim_(n->+infty)S_n=int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$

Ora se fisso una suddivisione del tipo ${0,1,2,...,n}$ e considerando la partizione allo stesso modo di prima,

$lim_(n->+infty)s_nleqlim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)leqlim_(n->+infty)S_n$

Poiché $f$ è integrabile a sinistra e a destra si ha la stessa cosa, dunque per antisimmetria si conclude che,

$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)sqrt(n^2-k^2)=int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$

[curie88]

Grazie mille per la risposta, anche se non sono pienamente d accordo per esempio, sull` intervallo di integrazione che io assumerei uguale al raggio cioè ad 1, comunque ho trovato l integrale, anche se non serve a molto:

$$\pi/4 = \int_{0}^{\pi/2}(sint^2)dt$$

[anto_zoolander]

Se poni,

$lim_(n->+infty)1/n^2int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$

E fai la sostituzione nell'integrale $x=nsint$

Viene $lim_(n->+infty)int_(0)^(pi/2)sqrt(1-sin^2t)costdx$

Ovvero $int_(0)^(pi/2)cos^2(t)dt=pi/4$

[anto_zoolander]

Se poni,

$lim_(n->+infty)1/n^2int_(0)^(n)sqrt(n^2-x^2)dx$

E fai la sostituzione nell'integrale $x=nsint$

Viene $lim_(n->+infty)int_(0)^(pi/2)sqrt(1-sin^2t)costdx$

Ovvero $int_(0)^(pi/2)cos^2(t)dt=pi/4$

[curie88]

Si ma quella $n$ si può elidere fin dall inizio poiché è anche:

$\int_{0}^{1}\sqrt(1-x^2)dx$

Ponendo $x = \-cost$ e sostituendo si giunge a quella sopra.