Limite che non capisco

Ragazzo1231
ciao, non riesco a comprendere perché questo limite abbia come risultato $e^2$:

$lim_(x->infty) ((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x $

ho fatto diventare un esponenziale il limite


$lim_(x->infty) e^log(((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x) $

$lim_(x->infty) e^(xlog((2x^2+3x)/(2x^2-x+1)) $

quindi il$ lim_(x->infty) xlog((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))=2$ ma non capisco come arrivarci...

Risposte
Mephlip
Prova a scrivere il numeratore come $2x^2+3x=2x^2-x+4x+1-1$ e a spezzare la frazione.

Ragazzo1231
Non mi è chiaro il tuo meccanismo...
in questo modo dovrei risalire a qualche forma di limite notevole?

Mephlip
Esattamente, vediamo se così si nota :D
$$x \ln \left(\frac{2x^2+3x}{2x^2-x+1}\right)=x \ln \left(\frac{2x^2-x+1-1+4x}{2x^2-x+1}\right)=x \ln \left(\frac{2x^2-x+1}{2x^2-x+1}+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \right)=$$
$$=x \ln \left(1+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \right)$$
Meglio?

Ragazzo1231
Ho un po' di difficoltà in questo punto... dovrei ricollegarla al limite notevole del logaritmo? potrei chiedere un ultimo aiutino se non ti dispiace??

Mephlip
Nessun problema! Sì, devi ricondurti al limite notevole del logaritmo: esso ti dice che $\ln \left(1+f(x)\right)$ si comporta come (per meglio dire, è asintotico a) $f(x)$ se $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$.
In questo caso $f(x)=\frac{-1+4x}{2x^2-x+1}$ e $x \to \infty$, quindi hai che la stima asintotica vale perché $\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \to 0$ per $x \to \infty$.
Perciò risulta che
$$x \ln \left(1+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1}\right) \sim x \frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \to_{x \to \infty} 2$$
Ricordandoci che tutto ciò era all'esponente di $e$, si ha quindi che il limite è $e^2$.

Ragazzo1231
Grazie mille! non conoscevo bene il passaggio che mi hai spiegato e non riuscivo a capire come proseguire :D ora è chiaro

pilloeffe
Ciao Ragazzo123,

Comunque per risolvere il limite proposto non era necessario passare alla forma esponenziale, bastava cercare di ricondursi alla generalizzazione del limite notevole $\lim_{x \to +infty} (1 + 1/x)^{x} = e $:

$\lim_{f(x) \to +infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $

Nel caso del limite proposto, utilizzando il suggerimento che ti aveva dato all'inizio Mephlip, si ha:

$ \lim_(x \to +\infty) ((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x = \lim_(x \to +\infty) ((2x^2 - x + 1 + 4x - 1)/(2x^2-x+1))^x = \lim_(x \to +\infty) (1 + (4x - 1)/(2x^2-x+1))^x = $
$ = \lim_(x \to +\infty) (1 + 1/\frac{2x^2-x+1}{4x - 1})^x = \lim_(x \to +\infty) [(1 + 1/\frac{2x^2-x+1}{4x - 1})^{\frac{2x^2-x+1}{4x - 1}}]^{\frac{4x^2 - x}{2x^2-x+1}} = e^2 $

Ragazzo1231
ciao Pilloeffe, a questo metodo non ci avevo pensato, grazie mille :D

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