Limite che non capisco

[Ragazzo1231]

ciao, non riesco a comprendere perché questo limite abbia come risultato $e^2$:

$lim_(x->infty) ((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x $

ho fatto diventare un esponenziale il limite


$lim_(x->infty) e^log(((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x) $

$lim_(x->infty) e^(xlog((2x^2+3x)/(2x^2-x+1)) $

quindi il$ lim_(x->infty) xlog((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))=2$ ma non capisco come arrivarci...

[Mephlip]

Prova a scrivere il numeratore come $2x^2+3x=2x^2-x+4x+1-1$ e a spezzare la frazione.

[Ragazzo1231]

Non mi è chiaro il tuo meccanismo...
in questo modo dovrei risalire a qualche forma di limite notevole?

[Mephlip]

Esattamente, vediamo se così si nota
$$x \ln \left(\frac{2x^2+3x}{2x^2-x+1}\right)=x \ln \left(\frac{2x^2-x+1-1+4x}{2x^2-x+1}\right)=x \ln \left(\frac{2x^2-x+1}{2x^2-x+1}+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \right)=$$
$$=x \ln \left(1+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \right)$$
Meglio?

[Ragazzo1231]

Ho un po' di difficoltà in questo punto... dovrei ricollegarla al limite notevole del logaritmo? potrei chiedere un ultimo aiutino se non ti dispiace??

[Mephlip]

Nessun problema! Sì, devi ricondurti al limite notevole del logaritmo: esso ti dice che $\ln \left(1+f(x)\right)$ si comporta come (per meglio dire, è asintotico a) $f(x)$ se $f(x) \to 0$ per $x \to x_0$.
In questo caso $f(x)=\frac{-1+4x}{2x^2-x+1}$ e $x \to \infty$, quindi hai che la stima asintotica vale perché $\frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \to 0$ per $x \to \infty$.
Perciò risulta che
$$x \ln \left(1+\frac{-1+4x}{2x^2-x+1}\right) \sim x \frac{-1+4x}{2x^2-x+1} \to_{x \to \infty} 2$$
Ricordandoci che tutto ciò era all'esponente di $e$, si ha quindi che il limite è $e^2$.

[Ragazzo1231]

Grazie mille! non conoscevo bene il passaggio che mi hai spiegato e non riuscivo a capire come proseguire ora è chiaro

[pilloeffe]

Ciao Ragazzo123,

Comunque per risolvere il limite proposto non era necessario passare alla forma esponenziale, bastava cercare di ricondursi alla generalizzazione del limite notevole $\lim_{x \to +infty} (1 + 1/x)^{x} = e $:

$\lim_{f(x) \to +infty} (1 + 1/(f(x)))^{f(x)} = e $

Nel caso del limite proposto, utilizzando il suggerimento che ti aveva dato all'inizio Mephlip, si ha:

$ \lim_(x \to +\infty) ((2x^2+3x)/(2x^2-x+1))^x = \lim_(x \to +\infty) ((2x^2 - x + 1 + 4x - 1)/(2x^2-x+1))^x = \lim_(x \to +\infty) (1 + (4x - 1)/(2x^2-x+1))^x = $
$ = \lim_(x \to +\infty) (1 + 1/\frac{2x^2-x+1}{4x - 1})^x = \lim_(x \to +\infty) [(1 + 1/\frac{2x^2-x+1}{4x - 1})^{\frac{2x^2-x+1}{4x - 1}}]^{\frac{4x^2 - x}{2x^2-x+1}} = e^2 $

[Ragazzo1231]

ciao Pilloeffe, a questo metodo non ci avevo pensato, grazie mille