Limite, che cosa significa questa conclusione?

[Baldur1]

$lim_(x->0) (ln(x senx + cos(2x)) + x^2) / x^3$

Dalla soluzione del testo d'esame:

Arrestando lo sviluppo di Taylor al terzo ordine, al numeratore, abbiamo che

$= ln (x(x+x^2 omega (x)) + 1 - 2x^2 + x^3 omega (x)) + x^2$
$= ln (1 - x^2 + x^3 omega (x)) + x^2$
$= x^3 omega (x) - x^2 + x^2$
$= x^3 omega (x)$

dove $omega$ rappresenta una generica funzione infinitesima nell'origne. Quindi:

$lim_(x->0) (ln(x senx + cos(2x)) + x^2) / x^3 = lim_(x->0) (x^3 omega (x)) / x^3 = 0$

Cosa è questa x^3 omega (x) ?

In effetti, sviluppando con taylor, sia che mi fermi al secondo ordine, sia arrestandomi al terzo ordine, ma normalmente, senza l'ulilizzo di questa omega, mi viene -x^2 + x^2 a numeratore, e x^3 a denominatore, ritornando di fatto ad essere una forma indeterminata. Ma non capisco che cosa sia questo utilizzo di omega... sapreste spiegarmi? Grazie mille

[Baldur1]

Quello che mi è venuto in mente, è che con lo svluppo, se mi fermo al secondo ordine, mi fermo troppo presto. Se mi fermo al terzo, i calcoli non portano a niente lo stesso! Quindi troppo presto lo stesso, dato che quando poi vado a sviluppare il logaritmo naturale, mi viene un x di grado quarto che non va considerato, e torno quindi a dover considerare di nuovo l'x di grado due, proprio come quando mi sono fermato al secondo ordine! Per cui questa omega serve per dire "guarda, è giusto fermarsi poco dopo l'ordine tre" ma quel poco che basta che nel mero sviluppo non trovo...e allora questo lo indica con quella funzione generica. Mi sembra questa la logica. E' così?

[ciampax]

In termini più "semplici": la $\omega$ spunta fuori quando calcoli lo sviluppo del seno. Osserva che

$\sin x=x-x^3/{3!}+x^5/{5!}-x^7/{7!}+...=x+x^2(-x/{3!}+x^3/{5!}-...)$

per cui come vedi $\omega(x)$ è infinitesima. Qual è l'utilità: esattamente quella che ti sei spiegato da solo: facendo lo sviluppo, non essendo certi di quale sia l'ordine più conveniente al quale arrestarsi, mi tengo da parte una certa funzione che so di poter riutilizzare all'occorrenza. Ora svolgo lo sviluppo e mi accorgo che viene fuori qualcosa del tipo $x^3\cdot\omega$: questo mi autorizza a dire che il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore a $3$ e pertanto in ogni caso maggiore del denominatore, per cui il limite è zero (confronto tra infinitesimi).

[Baldur1]

E se mi fossi arrestato al quarto? Magari non sarebbe servita questa funzione generica?

[ciampax]

Infatti, lo spirito è proprio quello: quando si sviluppa in generale non c'è un modo certo per capire quale sia il primo termine non nullo che verrà fuori, per cui, almeno in teoria, si dovrebbe procedere per tentativi. Qui, sfruttando il fatto che conosci la forma di $\omega$, fai un sviluppo semplice e innocuo e ti accorgi che, in ogni caso, se dovessi andare avanti, puoi sempre tirare fuori altri termini da quella roba, invece di ricominciare da capo a fare i calcoli.

Un consiglio che ti do per cercare di arrivare, facilmente, allo sviluppo corretto: in generale, vuoi per come sono scritte, vuoi per altri motivi, in un limite con un quoziente uno dei due termini tra numeratore e denominatore è più semplice del'altro. Partendo dallo sviluppo di questo (da fare, diciamo, per tentativi cercando di capire quale sia l'ordine giusto a cui arrestarsi) e una volta determinato il suo ordine di infinitesimo, diciamo esso sia $n$, eseguire gli sviluppi dell'altro termine fino, al più, all'ordine $n+1$ (ma in realtà anche $n$ va bene. Infatti succedono due cose:
1) gli ordini sono uguali e quindi hai fatto;
2)gli ordini sono diversi e, in ogni caso, sia che il secondo termine abbia ordine maggiore che minore di $n$, riesci a capirlo facilmente, in quanto se è minore è ovvio, e se è maggiore il termine di ordine $n$ e tutti quelli prima si cancelleranno lasciandoti con un "o piccolo" di qualcosa o, se vuoi, con la funzione $\omega$ di cui prima.