Limite calcolo se esiste
si calcoli se esiste il seguente limite:
$\lim_{x\to \infty }log ( 1+\frac{1}{x} )\cdot \frac{x3^{2x}- sin x+x^{3}}{9^{x}-arctanx}$
grazie mille...
$\lim_{x\to \infty }log ( 1+\frac{1}{x} )\cdot \frac{x3^{2x}- sin x+x^{3}}{9^{x}-arctanx}$
grazie mille...
Risposte
Nel numeratore della frazione a destra prevale $x3^{2x}$, mentre al denominatore prevale $9^{x}=3^{2x}$. Quella frazione tende dunque a $x$. Il limite all'infinito diventa quello di $xLog(1+1/x)=Log(1+1/x)^x$, che tende a $Log(e)=1$
mi puoi spiegare meglio che non ho capito come fare... se è possibile me lo potresti impostare e indicare cosa devo fare... grazie..
Già è tanto (anzi, troppo) ciò che ha postato 6KIRA6... Prova tu a chiarire quali sono i tuoi dubbi in merito.
non riesco a capire come risolvere quel limite a destra... quali considerazioni sono state fate..
Lasciando perdere quanto è stato già detto, tu come faresti? Che strategie conosci per risolvere i limiti?
Dove ti blocchi nell'applicarle?
Dove ti blocchi nell'applicarle?
conosco solo con i limiti notevoli... spero che mi possiate aiutare...
Beh, allora questo limite lo puoi risolvere.
Innanzitutto, il limite lo puoi calcolare subito "a occhio", oppure si presenta in forma indeterminata? Nel secondo caso, di che forma indeterminata si tratta?
Innanzitutto, il limite lo puoi calcolare subito "a occhio", oppure si presenta in forma indeterminata? Nel secondo caso, di che forma indeterminata si tratta?
si tratta di una forma indeterminata infinito/infinito... e qui non sò cosa devo fare...
allora a quanto ho capito il problema è di come risolvi la seconda parte del limite poi il resto lo sai fare. provo ad aiutarti:
$ lim_(x -> oo) (x*3^(2x)-sinx+x^3)/(9^x-arctanx)=lim_(x -> oo) 3^(2x)(x-sinx/3^(2x)+x^3/3^(2x))/(3^(2x)(1-arctanx/3^(2x)))= $
sin x è sempre compreso tra -1 e 1 quindi diviso $3^(2x)$ tenderà a 0 (non si sa se da destra o da sinistra ma essendo poi sottratta non fa cambiare il risultato del limite). inoltre $arctanx/(3^(2x))$ tende a 0 per $x->oo$. quindi avrai
$ lim_(x -> oo) 3^(2x)(x+x^3/3^(2x))/3^(2x)=lim_(x -> oo) (x+x^3/3^(2x))=lim_(x -> oo) x(1+(x/3^x)^2) $
credo che tu abbia già visto che l'esponenziale tende ad infinito più velocemente di x e quindi, alla fine, avrai:
$ lim_(x -> oo) x(1+(0)^2)=lim_(x -> oo) x $
spero di esserti stato di aiuto!
P.S. se ti stai chiedendo se c'è un modo più veloce per risolverlo la risposta è sì! però hai detto che le tue conoscenze nel risolvere i limiti si fermano ai limiti notevoli e quindi devi fare tutti questi passaggi per semplificarti il limite.
$ lim_(x -> oo) (x*3^(2x)-sinx+x^3)/(9^x-arctanx)=lim_(x -> oo) 3^(2x)(x-sinx/3^(2x)+x^3/3^(2x))/(3^(2x)(1-arctanx/3^(2x)))= $
sin x è sempre compreso tra -1 e 1 quindi diviso $3^(2x)$ tenderà a 0 (non si sa se da destra o da sinistra ma essendo poi sottratta non fa cambiare il risultato del limite). inoltre $arctanx/(3^(2x))$ tende a 0 per $x->oo$. quindi avrai
$ lim_(x -> oo) 3^(2x)(x+x^3/3^(2x))/3^(2x)=lim_(x -> oo) (x+x^3/3^(2x))=lim_(x -> oo) x(1+(x/3^x)^2) $
credo che tu abbia già visto che l'esponenziale tende ad infinito più velocemente di x e quindi, alla fine, avrai:
$ lim_(x -> oo) x(1+(0)^2)=lim_(x -> oo) x $
spero di esserti stato di aiuto!
P.S. se ti stai chiedendo se c'è un modo più veloce per risolverlo la risposta è sì! però hai detto che le tue conoscenze nel risolvere i limiti si fermano ai limiti notevoli e quindi devi fare tutti questi passaggi per semplificarti il limite.
Innanzitutto il tuo limite non è semplicemente nella forma \(\infty/\infty\), poiché si ha:
\[
\tag{*}
\lim_{x\to \infty} \underbrace{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}_{\color{red}{\to 0}}\ \frac{\overbrace{x 3^{2x} - \sin x + x^3}^{\color{red}{\to \infty}}}{\underbrace{9^x - \arctan x}_{\color{red}{\to \infty}}}\; ,
\]
sicché hai più di una forma indeterminata sotto gli occhi.
*
Come detto da victory92, la soluzione delle forme indeterminate \(\infty/\infty\) con metodi elementari si basa sull'individuazione degli infiniti d'ordine superiore a numeratore e denominatore e sulla messa in evidenza.
Dato che gli infiniti d'ordine superiore a numeratore e denominatore sono, rispettivamente \(x 3^{2x}\) e \(9^x\), puoi metterli in evidenza ed ottenere:
\[
(*) = \lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ \frac{x 3^{2x}}{ 9^x}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ;
\]
inoltre, dato che \(3^{2x}=(3^2)^x=9^x\), puoi semplificare ottenendo:
\[
= \lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ x\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ;
\]
d'altra parte, portando \(x\) a denominatore tutto si riduce a:
\[
= \lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ,
\]
e quest'ultimo limite, per i limiti notevoli ed i teoremi sui limiti, non è più in forma indeterminata... Provare per credere!
\[
\tag{*}
\lim_{x\to \infty} \underbrace{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}_{\color{red}{\to 0}}\ \frac{\overbrace{x 3^{2x} - \sin x + x^3}^{\color{red}{\to \infty}}}{\underbrace{9^x - \arctan x}_{\color{red}{\to \infty}}}\; ,
\]
sicché hai più di una forma indeterminata sotto gli occhi.
*
Come detto da victory92, la soluzione delle forme indeterminate \(\infty/\infty\) con metodi elementari si basa sull'individuazione degli infiniti d'ordine superiore a numeratore e denominatore e sulla messa in evidenza.
Dato che gli infiniti d'ordine superiore a numeratore e denominatore sono, rispettivamente \(x 3^{2x}\) e \(9^x\), puoi metterli in evidenza ed ottenere:
\[
(*) = \lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ \frac{x 3^{2x}}{ 9^x}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ;
\]
inoltre, dato che \(3^{2x}=(3^2)^x=9^x\), puoi semplificare ottenendo:
\[
= \lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ x\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ;
\]
d'altra parte, portando \(x\) a denominatore tutto si riduce a:
\[
= \lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}\; ,
\]
e quest'ultimo limite, per i limiti notevoli ed i teoremi sui limiti, non è più in forma indeterminata... Provare per credere!
quindi il limite finale è infinito oppure sbaglio???
Sbagli.
Fai bene i conti...
Fai bene i conti...
è uguale a 1... giusto???
Certo! 
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