Limite bastardo

[makavelli]

lim x->0

(cosx)^1/(x)^2


chi sa risolverlo?

ho provato con il lim notevole...
e con l'uguaglianza f(x)^g(x)=e^g(x)ln(f(x))

[Matteos86]

$lim_(x->0)cos(x)^(x^2)$ ?

[_luca.barletta]

prova ad usare l'asintotico $cosx~1-x^2/2$ per $xrarr0$

[fireball1]

Beh non è difficile... Il problema si riduce
a fare lo sviluppo di Taylor di $logcosx$ centrato in 0.
Per calcolarlo si può scrivere:
$log(1+cosx-1)=cosx-1+o(cosx-1)=-1/2x^2+o(x^2)
dove nell'ultimo passaggio è stato utilizzato
lo sviluppo di $cosx$ arrestato al secondo ordine.
Perciò $logcosx~~-1/2x^2$ per $x->0$, allora
$lim_(x->0) e^(1/x^2 logcosx)=lim_(x->0) e^(1/x^2 *(-1/2 x^2)) = e^(-1/2) = 1/sqrte

[Matteos86]

credo che tu voglia scrivere questo:

$lim_(x->0)(cos(x))^(1/x^2)=lim_(x->0)e^((1/x^2ln(cos(x))))=lim_(x->0)e^(((ln(1+cos(x)-1))/(cos(x)-1))(-((1-cos(x)))/x^2))=e^(-1/2)

che c'è di bastardo??

[Matteos86]

giusto?

[fireball1]

Sì sì è giusto... Avevo sbagliato io un segno, errore prontamente corretto...

[baka1]

A me viene 1 però ho un dubbio, adesso ricontrollo..

[baka1]

Ho capito dove sbagliavo, avevo letto $cos(x)^(x^2)$, scusatemi