Limite banalissimo

[Darèios89]

Non capisco perchè abbia difficoltà con banalità tali:

[tex]\lim_{x \to 0^+ }\frac{\sqrt{x+x^3}}{x}[/tex]

Ho razionalizzato e trovo:

[tex]\frac{x^3(-1+\frac{x}{x^3})}{x^2\sqrt{x(-1+\frac{x}{x^3})}}}[/tex]

Dopo le semplificazioni però non ottengo niente....rimane e non so come uscirne:

[tex]\frac{x(-1+\frac{1}{x^2})}{\sqrt{x(-1+\frac{1}{x^2})}}}[/tex]

Sembra che ci si possa divertire con le proprietà delle potenze ma qualsiasi cosa mi ha portato a [tex]0*\infty[/tex]

[nato_pigro1]

in questi casi basta raccogliere una $x$ di sopra e semplificarlo con quella di sotto. Il limite viene $+oo$

[wheel21]

concordo, fa infinito.

[Darèios89]

Ma come scusa, se metto in evidenza [tex]x^3[/tex] ho:

[tex]\frac{\sqrt{x^3(1+\frac{x}{x^3})}}x[/tex]

Porto fuori e ottengo

[tex]\frac{x\sqrt{x(1+\frac{1}{x^2})}}{x}[/tex]

Potrei semplificare le x ma all'interno avrei sempre una forma indeterminata, deduco che mettete in evidenza diversamente ma io so che si deve mettere in evidenza l'esponente maggiore.

[F@bri]

dove la vedi la forma indeterminata?vattele a ripassare!!
la x va a infinito mentre 1/x^2 va a 0.. allora?

[Darèios89]

Il limite è per x che tende a 0 dalla destra.
x va a 0.

1 su x^2 va a +infinito...........................................................................................................................................................................................

[*v.tondi]

Calmo calmo (@F@bri) giovanotto, prima di postare i messaggi leggi bene la traccia e poi rispondi. La $x->0^+$.

[Darèios89]

Vabbè che in matematica sono negato...però....
Ma....tu mi sapresti dire dove sbaglio?

[nato_pigro1]

la x fuori della radice la semplifichi col denominatore. quindi ti resta $sqrt(x+1/x)$.
$x+1/x->+oo$ quindi $sqrt(x+1/x)->+oo$

[Darèios89]

Cioè praticamente la semplifico e ho:

[tex]\sqrt{x(1+\frac{1}{x^2})[/tex]

Riesegui il prodotto ottenendo [tex]\sqrt{1+\frac{1}{x}[/tex]

Quindi fa [tex]+\infty[/tex]

Banalmente?

[nato_pigro1]

eh si... ma infatti bastava raccogliere $x^2$ per tirarlo fuori dalla radice anzichè raccogliere $x^3$

[Darèios89]

Il vero bradipo sono io....
Grazie.

[Hopeful1]

comunque rieseguendo il prodotto hai $ sqrt(x+1/x) $ non $ sqrt(1+1/x) $ quindi per $ x -> 0^(+) $ si ha che $ x -> 0 $ e $ 1/x -> +oo $ quindi $ lim_(x -> (0)^(+)) sqrt(x+1/x)=+oo $

[Darèios89]

Si hai ragione, avevo postato male, bastava fare il prodotto e si risolveva, ma per come l'avevo scritto ancora prima, c'era la forma indeterminata....avevi frainteso tu forse il punto di accumulazione...

[klarence1]

Edit: avevo scritto una correzione che ti han fatto notare dopo, scusate.

[F@bri]

"v.tondi":Calmo calmo (@F@bri) giovanotto, prima di postare i messaggi leggi bene la traccia e poi rispondi. La $x->0^+$.

Si scusami.. non ho letto bene la traccia e forse ho creato più confusione a chi ha posto la domanda..

[Sk_Anonymous]

Tale limite poteva essere risolto anche con il seguente limite notevole: $lim_ (x->0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha$ .
Ecco i passaggi :
$ ((x(1+x^2))^(1/2))/x=(sqrtx(1+x^2/2))/x=sqrtx/x=1/sqrtx=+oo $
Se ho sbagliato qualcosa non esitate a correggermi ! sbagliando si impara !