Limite (banale) con radicali

[poncelet]

Ho questo limite di successione:

$lim_(n->oo)root(3)(n^6-n^(\alpha)+1)-n^2$

Ho provato a raccogliere $n^2$ ottenendo:

$lim_(n->oo)n^2(root(3)(1-n^(\alpha-6)+1/n^6)-1)$

Quindi devo valutare $\alpha$:

- se $\alpha>=6$ mi viene $-oo$

Non riesco a risolvere però il caso $\alpha<6$.

[Giuly191]

Sviluppa la radice terza con le formule di Taylor!

[poncelet]

Mi sono accorto di aver raccolto male $n^2$:

$lim_(n->oo)n^2(root(3)(1/n^2-n^(\alpha-8)+1/n^8)-1)$

però a questo punto mi blocco e non posso applicare Taylor perché devo risolvere solo con limiti notevoli.

[Giuly191]

Guarda che mi sa che era giusto prima invece!
Comunque per non usare Taylor dovresti provare a mandar via la radice in qualche modo.. ma non lo vedo un bel lavoro!

[poncelet]

Sì hai ragione era giusto prima. Saranno le troppe uova di Pasqua...

[poncelet]

Avevo intanto dimenticato di dire che $\alpha\inRR_+$.
Ho provato a fare così:

$lim_(n->oo)(root(3)(n^6-n^\alpha+1)-n^2)=lim_(n->oo)(root(3)(n^6-n^\alpha+1)-n^2)\frac{root(3)((n^6-n^\alpha+1)^2)+n^2root(3)(n^6-n^\alpha+1)+n^4}{root(3)((n^6-n^\alpha+1)^2)+n^2root(3)(n^6-n^\alpha+1)+n^4}$
$=lim_(n->oo)\frac{n^6-n^\alpha+1-n^6}{root(3)((n^6-n^\alpha+1)^2)+n^2root(3)(n^6-n^\alpha+1)+n^4}$
$= lim_(n->oo)\frac{1-n^\alpha}{root(3)((n^6-n^\alpha+1)^2)+n^2root(3)(n^6-n^\alpha+1)+n^4}$

A questo punto raccolgo i termini con esponente maggiore a numeratore e denominatore per ottenere:

$lim_(n->oo)\frac{n^\alpha(1/n^\alpha-1)}{n^4(root(3)((1-n^(\alpha-6)+1/n^6)^2)+root(3)(1-n^(\alpha-6)+1/n^6)+1)}$

A questo punto valuto $\alpha$:

- se $0<\alpha<4$ il limite vale $0$ poiché il denominatore tende a $+oo$ ed il numeratore a $-1$

- se $\alpha=4$ il limite vale $-1/3$ poiché si semplifica $n^4$ e rimane che il numeratore tende a $-1$ ed il denominatore a $3$

- se $4<\alpha<=6$ il limite vale $-oo$ poiché il numeratore tende a $-oo$ ed il denominatore a $3$

- se $\alpha>6$ il limite vale $-oo$ poiché ritornando alla forma $lim_(n->oo)(n^2(root(3)(1-n^(\alpha-6)+1/n^6)-1)$ abbiamo che $n^2->+oo$ mentre $(root(3)(1-n^(\alpha-6)+1/n^6)-1)$ tende a $-oo$.

[gugo82]

Vabbé max, ma quanto la fai complicata...

Hai:

[tex]$\sqrt[3]{n^6-n^\alpha -1} =\begin{cases} n^2 \sqrt[3]{1-\frac{n^\alpha +1}{n^6}} &\text{, se $\alpha <6$} \\ -1 &\text{, se $\alpha =6$} \\ -n^{\frac{\alpha}{3}}\sqrt[3]{1-\frac{n^6-1}{n^\alpha}} &\text{, se $\alpha >6$}\end{cases}$[/tex],

dato che, per un limite notevole, si ha [tex]$\sqrt[3]{1\pm y} \approx 1\pm \tfrac{1}{3}\ y$[/tex] per [tex]$y\approx 0$[/tex], risulta:

[tex]$\sqrt[3]{n^6-n^\alpha -1} \approx \begin{cases} n^2 - \frac{1}{3} \frac{n^\alpha +1}{n^4} &\text{, se $\alpha <6$} \\ -1 &\text{, se $\alpha =6$} \\ -n^{\frac{\alpha}{3}} + \frac{1}{3} \frac{n^6-1}{n^{\frac{2}{3} \alpha}} &\text{, se $\alpha >6$}\end{cases}$[/tex]

e da qui puoi fare tutte le considerazioni che vuoi.

[poncelet]

Grazie Gugo. Mi sembra comunque che con il tuo procedimento (sicuramente meno macchinoso del mio) si arrivi allo stesso risultato. Giusto?
A presto e buona Pasqua!

[gugo82]

Direi di sì.

Infatti dall'ultima formula trovi:

[tex]$\sqrt[3]{n^6-n^\alpha -1} -n^2 \approx \begin{cases} - \frac{1}{3} \frac{n^\alpha +1}{n^4} &\text{, se $\alpha <6$} \\ -1-n^2 &\text{, se $\alpha =6$} \\ -n^{\frac{\alpha}{3}}-n^2 + \frac{1}{3} \frac{n^6-1}{n^{\frac{2}{3} \alpha}} &\text{, se $\alpha >6$}\end{cases}$[/tex]

ergo:

- se [tex]$\alpha <4$[/tex] il limite è [tex]$0$[/tex];

- se [tex]$\alpha =4$[/tex] il limite è [tex]$-\tfrac{1}{3}$[/tex];

- se [tex]$4<\alpha$[/tex], il limite è [tex]$-\infty$[/tex] (ciò, se [tex]$\alpha \leq 6$[/tex] è immediato; se invece [tex]$\alpha >6$[/tex] hai [tex]$-n^{\frac{\alpha}{3}}-n^2 \approx -n^{\frac{\alpha}{3}}$[/tex] e [tex]$\tfrac{n^6-1}{3n^{\frac{2}{3} \alpha}} \approx n^{6-\frac{2}{3}\alpha}$[/tex], con [tex]$6-\tfrac{2}{3}\alpha <2 <\tfrac{\alpha}{3}$[/tex]);