Limite banale

[MarcoPierro]

$lim x-> sqrt(x^2 -15x+56) - (x+7)$ non mi fa scrivere infinito

Oltre a scomporre il radicando in $(x+8)(x+7)$ cosa devo fare?

[IngMarcon]

Ciao Marco,
Allora partendo dal fatto che il radicando è scomponibile, ma in questo modo $ (x-7)(x-8) $
Comunque dal tuo limite possiamo vedere che che la parentesi è inutile, allora vai a fare questo limite $ limx→oo( sqrt(x2−15x+56)-x)-7 $
Prova a fare questo giochetto matematico:
moltiplica e dividi per $ sqrt(x2−15x+56)+x $ ovviamente non stai modificando niente togliendo ed aggiungendo la stessa quantità.
A te vedere poi come andare avanti.

[MarcoPierro]

Ciao marcon, moltiplicando e dividendo mi trovo $(15x +56) / (sqrt(x^2 +15x +56))$ e ora cosa faccio?

[Magma1]

$ lim_(x->+oo) sqrt(x^2 -15x+56) - (x+7) $

$=lim_(x->+oo) sqrt(x^2 -15x+56) - (x+7) * (sqrt(x^2 -15x+56) + (x+7))/(sqrt(x^2 -15x+56) + (x+7)) $


$=lim_(x->+oo) (x^2 -15x+56 - x^2-14x-49)/(sqrt(x^2(1 -15/x+56/x^2)) +x+7)$

Poiché $sqrt(x^2)=abs(x)$ e poiché per $x->+oo, abs(x)=x$,

$=lim_(x->+oo) (-29x+7)/(x(sqrt(1 -15/x+56/x^2) +1+7/x))=-29/2$

[MarcoPierro]

Purtroppo no, il risultato deve essere 1/2

[Magma1]

Sicuro? Ho controllato con Wolfram[nota]https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E+%2Binf+sqrt(x%5E2-15x%2B56)-(x%2B7)[/nota] e sembra esser giusto $-29/2$

[MarcoPierro]

Purtroppo si, l'abbiamo svolto in classe e la prof ha scritto 1/2 però senza fare i passaggi. Inoltre su Internet anche mi porta 1/2

[Magma1]

"MarcoPierro": Inoltre su Internet anche mi porta 1/2

Dove?

[MarcoPierro]

È stranissimo ieri sera mi portava 1/2 ora -29/2 ho ricontrollato hahaha allora credo che hai ragione tu

[francicko]

Volendo si può risolvere evitando di razionalizzare , usando gli asintotici, $lim_(x->infty)xsqrt (1-(15)/x+(56)/x^2)-x-7$ essendo:
$sqrt(1-(15)/x+(56)/x^2)~(1-(15)/(2x)) $, sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->infty)x (1-(15)/(2x))-x-7$ $=lim_(x->infty)x (1-(15)/(2x)-1)-7$ $=lim_(x->infty)x (-(15)/(2x))-7$ $=lim_(x->infty)-(15)/2-7=-(29)/2$