Limite ArcTg

[BananaJo1]

Ciao a tutti, potete aiutarmi con i seguenti due limiti? Sono tratti da una serie di limiti assegnati agli esami della facoltà di Fisica di Torino. Vanno risolti tendenzialmente con i limiti notevoli.

$\lim_{x\to \inf}[x(pi/2-arctg(1+x))]

ricordando il limite notevole per arctg con x -> inf =$\pi/2$ ho provato qualche cambio di variabile ma nulla accade. Per favore se qualcuno mi può illuminare..


$\lim_{x \to \infty}sin(1-e^((x^2-5)/x^3))$

questo proprio non l'ho capito.
Grazie

Mattia


e il secondo

[BananaJo1]

Errata:

il primo limite tende a + inf

[Seneca1]

$\lim_{x \to \infty}sin(1-e^((x^2-5)/x^3))$

$\lim_{x \to \infty}(x^2-5)/x^3 = \lim_{x \to \infty}(x^2)/x^3 = \lim_{x \to \infty}1/x = 0$

Di conseguenza $e^((x^2-5)/x^3) -> e^0 = 1$ per $ x -> oo$.

[BananaJo1]

Ah grazie, io cervavo di ricondurmi alla forma $(e^x-1)/x$, cosa che complica molto la vita.

[clrscr]

Per il primo...prova a scrivere la funzione nel seguente modo:

$(pi/2-arctg(1+x))/(1/x)$ ora basta usare De l'Hospital

[Seneca1]

$\lim_{x\to \inf}[x(pi/2-arctg(1+x))]$

Senza usare De L'Hospital:

$1 + x = tan( z )$

$x -> +oo$, $z -> pi/2$...


$\lim_{z\to (pi/2)^-} (tan(z) - 1)*(pi/2 - z) = $

$\lim_{z\to (pi/2)^-} tan(z)*(pi/2 - z) - (pi/2 - z) = $

$\lim_{z\to (pi/2)^-} (pi/2 - z)/cotg(z) - (pi/2 - z) $

$t = pi/2 - z$, ( $ z = pi/2 - t $ )

$\lim_{t \to 0^+} t/cotg(pi/2 - t) - t = $

Per le proprietà degli archi complementari:

$\lim_{t \to 0^+} t/tan(t) - t = 1$

[BananaJo1]

ok grazie tante a tutti. Mi sembra molto bellina questa soluzione che sfrutta gli archi complementari. Sinceramente non sapevo neanche che esistessero tali formule..