Limite arcotangente

[cristian.vitali.102]

ciao, ho provato a risolvere questo limite con wolframalpha ma non mi da il risultato quindi vorrei sapere se i passaggi sono giusti.
Il limite è:
$\lim_(\x to \infty) x[arctg(pi/(3x)+1)+arctg(pi/(3x)-1)]$

Potrei trasformarlo in

$\lim_(\x to \infty) (arctg(pi/(3x)+1)+arctg(pi/(3x)-1))/(1/x)=0/0$

e utilizzare De l Hopital:

derivata numeratore: $1/(1+(pi/(3x)+1))^2(-pi/(3x^2))+1/(1+(pi/(3x)-1))^2(-pi/(3x^2))$

derivata denominatore: $-1/x^2$

quindi:

$\lim_(\x to \infty) (1/(1+(pi/(3x)+1))^2(-pi/(3x^2))+1/(1+(pi/(3x)-1))^2(-pi/(3x^2))) (1/(-1/x^2))=$

$\lim_(\x to \infty) (-pi/(3x^2-(pi^2/(9x^4)))-pi/(3x^2-(pi^2/(9x^4)))) (1/(-1/x^2))=$

$\lim_(\x to \infty) (-2pi/(3x^2))(-x^2)= 2/3pi$

[poll89]

Beh, su wikipedia ho trovato questa formula (scusa, non riesco a mettere l'immagine leggibile) che potrebbe risolverti il problema.

[cristian.vitali.102]

Ho trovato questo limite all' esame di analisi 1. Quindi per risolverlo era obbligatorio sapere questa formula?
i passaggi sono errati?
Grazie per l interessamento

[Seneca1]

I conti risultano meno pesanti se, prima di applicare De l'Hopital, operi un cambio di variabile $1/x = t$. Provare per credere.

[Ernesto011]

E se invece costruisci il polinomio di taylor della funzione $f(x)=arctg((pi/3x)+1)+arctg((pi/3x)-1)$ ? Basta calcolare anche solo $f'(0)$
Edit: ho appena notato che non esiste

[cristian.vitali.102]

Ho provato con la sotituzione (t=1/x)

e risulta:

$\lim_(\x to \infty) x[arctg(pi/(3x)+1)+arctg(pi/(3x)-1)]=$

$\lim_(\x to \0) 1/t[arctg(pi/(3)t+1)+arctg(pi/(3)t-1)]=$

$\lim_(\x to \0) 1/(1+(pi/(3)t+1)^2)(pi/(3))+1/(1+(pi/(3x)-1)^2)(pi/(3))=1/2 pi/3+1/2 pi/3=pi/3$

sbaglio?