Limite applicando De l'Hopital
Ciao ragazzi, oggi ho sostenuto l'esame di analisi scritto, mi sorgono dei dubbi su due esercizi che non mi trovo con i risultati dati da derive. Ve li illustro:
$lim_(x->0)(1-x^2)^(logx)$ risolvendo questo limite mi trovo come risultato $e^-2$
$\int_(1/(3x^2+5)^2)dx$ e mi trovo $3/50arctg(sqrt3/sqrt5x)-x/(3x^2+5)$
Sapresti dirmi cortesemente se vi trovate con i miei rsultati oppure ho sbagliato? Grazie
$lim_(x->0)(1-x^2)^(logx)$ risolvendo questo limite mi trovo come risultato $e^-2$
$\int_(1/(3x^2+5)^2)dx$ e mi trovo $3/50arctg(sqrt3/sqrt5x)-x/(3x^2+5)$
Sapresti dirmi cortesemente se vi trovate con i miei rsultati oppure ho sbagliato? Grazie
Risposte
Sarebbe opportuno che indicassi lo svolgimento che hai seguito per arrivare a quei risultati...
Comunque per quel che riguarda il limite io ho ragionato cosí:
$lim_{x->0^+}(1-x^2)^(logx)=$(moltiplicando e dividendo l'esponente per $-x^2$)$=lim_{x->0^+}[(1-x^2)^(-1/x^2)]^(-x^2logx) = lim_{x->0^+}[(1+1/(-1/x^2))^(-1/x^2)]^(-x^2logx)$
Ora il limite dentro parentesi quadra è del tipo
$lim_{t->-oo}(1+1/t)^t = e$
inoltre si ha
$lim_{x->0^+}-x^2logx=lim_{x->0^+}logx/(-1/x^2)=0$
perché $1/x^2$ è un infinito di ordine superiore a $logx$ (oppure ci si può arrivare anche con de L'Hopital).
In conclusione quindi il limite risulta
$lim_{x->0^+}[(1+1/(-1/x^2))^(-1/x^2)]^(-x^2logx) = e^0 = 1$.
Ripeto che è difficile dire in che cosa hai sbagliato se non riporti il tuo procedimento.
Comunque per quel che riguarda il limite io ho ragionato cosí:
$lim_{x->0^+}(1-x^2)^(logx)=$(moltiplicando e dividendo l'esponente per $-x^2$)$=lim_{x->0^+}[(1-x^2)^(-1/x^2)]^(-x^2logx) = lim_{x->0^+}[(1+1/(-1/x^2))^(-1/x^2)]^(-x^2logx)$
Ora il limite dentro parentesi quadra è del tipo
$lim_{t->-oo}(1+1/t)^t = e$
inoltre si ha
$lim_{x->0^+}-x^2logx=lim_{x->0^+}logx/(-1/x^2)=0$
perché $1/x^2$ è un infinito di ordine superiore a $logx$ (oppure ci si può arrivare anche con de L'Hopital).
In conclusione quindi il limite risulta
$lim_{x->0^+}[(1+1/(-1/x^2))^(-1/x^2)]^(-x^2logx) = e^0 = 1$.
Ripeto che è difficile dire in che cosa hai sbagliato se non riporti il tuo procedimento.
Io l'ho risolto nel seguente modo: $lim_(0->0)e^(logx*log(1-x^2))$ = > $log(1-x^2)/(1/logx)$ applicando l'Hopital $(-2x)/x(1-x^2)$ e quindi per x tendente a 0 mi trovo $e^-2$
@lello.1988
Qual'è la derivata di $1/lnx$??:-)
Qual'è la derivata di $1/lnx$??:-)
giusto...che errore megagalattico che ho fatto?
e per quanto riguarda l'integrale?
"lello.1988":
e per quanto riguarda l'integrale?
Esatto, è proprio quello che volevo chiederti io: e per quanto riguarda l'integrale che procedimento hai seguito?
ho considerato la funzione $\int_(1/(3x^2+5))dx$ continuo a calcolare questo integrale per parti e giungo al seguente passaggio $\int_(1/(3x^2+5))dx=x/(3x^2+5)-2\int_(1/(3x^2+5))dx+10\int_(1/(3x^2+5)^2)dx$ e facendo alcuni passaggi tra membro a membro giungo al risultato postato in precedenza
Vi trovate anche voi con me?
Vi trovate anche voi con me?
Scusate l' interruziona ma.. sul primo esercizio, quando si deve risolvere con Hopital $lim_(x->0)ln(1 - x^2)/(1/ln(x))$, a me viene $2x^2/(1 - x^2)ln^2(x)$ ed applicandoci il limite mi viene $\-infty$ quindi $e^(-\infty) = 0$ alla fine..XD
cosa ho sbalgiato ?
cosa ho sbalgiato ?
Non mi sembra venga $-\infty$ ma ancora una forma indeterminata $\infty/\infty$. Io sono "contro" il metodo de l'Hopital. Con il limiti notevoli, come ti è stato fatto vedere, saresti arrivato subito al risultato....
Scusatemi io ho postato i passaggi che ho fatto per svolgere l'integrale, qualcuno di buona pazienza potrebbe dirmi se ho fatto bene e quindi mi trovo con il risultato postato in calce? grazie
"lello.1988":
Scusatemi io ho postato i passaggi che ho fatto per svolgere l'integrale, qualcuno di buona pazienza potrebbe dirmi se ho fatto bene e quindi mi trovo con il risultato postato in calce? grazie
Visto che sei relativamente nuovo del forum forse una piccola spiegazione ti è dovuta: questo non è un forum dove si risolvono esercizi. Questo è un forum dove si discute di matematica.
Poi ci sono molte persone competenti e di buona volontà che si mettono a disposizione anche per aiutare studenti o appassionati che sono in difficoltà con esercizi, problemi teorici, ecc. Questo però sempre a titolo volontario e con il tempo che ciascuno ha a disposizione.
Postare il procedimento è ocndizione necessaria per sperare di ottenere una qualche risposta ma non è ovviamente sufficiente, dal momento che in questo forum nessuno è vincolato a risolvere gli esercizi o i problemi di qualcun altro. In ogni caso postare un messaggio solo per richiamare l'attenzione su un proprio esercizio inserito qualche ora prima è fortemente sconsigliato perché se tutti facessero cosí il forum sarebbe un caos. Attendi almeno fino a domani per chiedere un eventuale ulteriore aiuto.
Io stesso ora purtroppo non ho tempo di prendere in considerazione il tuo integrale.
Buona matematica!
scusami, ma non ho aperto un altro post per attirare la mia attenzione, è solo che dato che in questo post si stava parlando solo del limite che ho postato e che il titolo si riferiva solo al limite pensavo che ve ne foste dimenticati che avevo proposto un altro esercizio...cmq scusami di nuovo se è stata fraintesa la cosa. Ciao
La tua idea iniziale è corretta però il tuo risultato è sbagliato, come puoi verificare facilmente eseguendo la derivata.
Non so nei passaggi intermedi, però in quelli che hai postato c'è già un errore di segno. Ora non ho tempo ma domani ti indico l'errore in dettaglio e il risultato corretto.
Non so nei passaggi intermedi, però in quelli che hai postato c'è già un errore di segno. Ora non ho tempo ma domani ti indico l'errore in dettaglio e il risultato corretto.
Ecco qua!
Allora innanzitutto a me risulta la seguente uguaglianza
$\int 1/(3x^2+5)dx=x/(3x^2+5)+2 \int 1/(3x^2+5)dx - 10 \int 1/(3x^2+5)^2 dx$ (1)
dove la diversità di segno degli ultimi due membri rispetto alla tua ugualianza (di lello.1988, intendo) è dovuta al fatto che forse non hai tenuto conto del segno applicando la regola di derivazione
$D 1/t=-1/t^2$
Sistemando l'uguaglianza (1) si ottiene
$\int 1/(3x^2+5)^2dx = 1/10 \int 1/(3x^2+5)dx + 1/10 x/(3x^2+5)$
ed eseguendo l'integrale a secondo membro si ha
$\int 1/(3x^2+5)^2dx = sqrt5/(50sqrt3) arctg(sqrt3/sqrt5 x) + 1/10 x/(3x^2+5) + k$
che è la soluzione corretta (a meno che non abbia sbagliato a derivare facendo la verifica... ).
Allora innanzitutto a me risulta la seguente uguaglianza
$\int 1/(3x^2+5)dx=x/(3x^2+5)+2 \int 1/(3x^2+5)dx - 10 \int 1/(3x^2+5)^2 dx$ (1)
dove la diversità di segno degli ultimi due membri rispetto alla tua ugualianza (di lello.1988, intendo) è dovuta al fatto che forse non hai tenuto conto del segno applicando la regola di derivazione
$D 1/t=-1/t^2$
Sistemando l'uguaglianza (1) si ottiene
$\int 1/(3x^2+5)^2dx = 1/10 \int 1/(3x^2+5)dx + 1/10 x/(3x^2+5)$
ed eseguendo l'integrale a secondo membro si ha
$\int 1/(3x^2+5)^2dx = sqrt5/(50sqrt3) arctg(sqrt3/sqrt5 x) + 1/10 x/(3x^2+5) + k$
che è la soluzione corretta (a meno che non abbia sbagliato a derivare facendo la verifica...
).
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