Limite all'infinito per funzione di 3 variabili

[kekkodigrano]

Ciao a tutti, ho un problema con il seguente limite:
$lim_((x^2+y^2+z^2)->+infty)$ $(xy)/(1+x^2+y^4+z^6)$

A mio parere fa $0$, ma non riesco a trovare delle disuguaglianze adatte per dimostrarlo, qualche idea?
Grazie a tutti!

[nick_10]

Ciao! Io proverei a porre $abs(y)=sqrt(u)$ e $z=w^(1/3)$ e poi passare in coordinate sferiche

[Lebesgue]

Ti conviene effettuare il cambio di variabili: $x=u^6;y=v^3;z=w^2$ così da avere:
$\lim_(u^2+v^2+w^2\to+\infty) (u^6v^3)/(1+u^12+v^12+z^12) $

Da qui passi in coordinate sferiche: \begin{cases} u=\rho\cos\theta\cos\varphi \\ v=\rho\sin\theta\cos\varphi \\ w=\rho\sin\varphi \end{cases}

Ottenendo:
$\lim_(\rho\to+\infty)(\rho^9\cos^9\varphi\cos^3\theta\sin^3\theta)/[1+\rho^12(cos^12\varphi(cos^12\theta+\sin^12\theta)+sin^12\varphi)$

Poniamo ora: $m=min{cos^12\theta+sin^12\theta|\theta\in[0,2\pi]}$ che esiste per Weiestrass ed è strettamente positivo dato che seno e coseno non si annullano mai insieme.
Quindi il denominatore diventa: $1+\rho^12(m*cos^12\varphi+\sin^12\varphi)$.
Detto allora $k=min{m*cos^12\varphi+\sin^12\varphi|\varphi\in[-\pi/2,\pi/2]}>0$ per gli stessi motivi di prima,
quindi infine posso mettere i valori assoluti ed avere:

$0\le|(\rho^9\cos^9\varphi\cos^3\theta\sin^3\theta)/[1+\rho^12(cos^12\varphi(cos^12\theta+\sin^12\theta)+sin^12\varphi)] |\le \rho^9/(1+k\rho^12)$

E per $\rho$ che tende all'infinito concludi.

Alternativamente si poteva usare il seguente fatto:
$\exists m_1,m_2>0 | m_1(u^2+v^2+w^2)^6\le (u^12+v^12+w^12)\le m_2(u^2+v^2+w^2)^6$ per ogni tripla (u,v,w) nella sfera $u^2+v^2+w^2=1$. Quindi usare questo per maggiorare il limite e poi passare in polari [sostanzialmente eviti i vari conti con theta e phi]

[kekkodigrano]

Beh che devo dire, chiarissimo, grazie mille!:)