Limite all'infinito funzioni sommabili
Buonasera,
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè vale questo lemma:
Se f è sommabile su R, se la sua derivata è sommabile su R allora f tende a zero all'infinito.
Penso che derivi direttamente dal teorema fondamentale del calcolo ma riesco solo a dimostrare la limitatezza di f.
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè vale questo lemma:
Se f è sommabile su R, se la sua derivata è sommabile su R allora f tende a zero all'infinito.
Penso che derivi direttamente dal teorema fondamentale del calcolo ma riesco solo a dimostrare la limitatezza di f.
Risposte
Siano \( f \) e \(f' \) sommabili su \( \mathbb{R} \). Allora
\[ + \infty > \int_{\mathbb{R}} |f'(x)| \ge \int_0^{+\infty} |f'(x)| dx \ge \Biggl | \int_0^{+ \infty} f'(x) dx \Biggr | = \Biggl | \lim_{R \to + \infty} \int_0^{R} f'(x) dx \Biggr | = \lim_{R \to + \infty} |f(R)- f(0) | \]
Da cui
\[ \lim_{R \to + \infty} f(R) = \pm \Biggl | \int_0^{+ \infty} f'(x) dx \Biggr | + f(0) \]
Che in ogni caso è un numero finito.
Quindi per ora hai che esiste un \( l \in \mathbb{R} \) (e quindi finito) tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \]
Da qua riesci a concludere?
\[ + \infty > \int_{\mathbb{R}} |f'(x)| \ge \int_0^{+\infty} |f'(x)| dx \ge \Biggl | \int_0^{+ \infty} f'(x) dx \Biggr | = \Biggl | \lim_{R \to + \infty} \int_0^{R} f'(x) dx \Biggr | = \lim_{R \to + \infty} |f(R)- f(0) | \]
Da cui
\[ \lim_{R \to + \infty} f(R) = \pm \Biggl | \int_0^{+ \infty} f'(x) dx \Biggr | + f(0) \]
Che in ogni caso è un numero finito.
Quindi per ora hai che esiste un \( l \in \mathbb{R} \) (e quindi finito) tale che
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \]
Da qua riesci a concludere?
Ma a prescindere dal fatto che la derivata sia sommabile, non è comunque una condizione necessaria che $f$ tenda a $0$?
Se avesse limite $l>0$ per permanenza del segno troveresti un certo $c inRR$ per cui
Se ho capito il quesito ovviamente.
Se avesse limite $l>0$ per permanenza del segno troveresti un certo $c inRR$ per cui
$+inftyleqint_(c)^(+infty)f(x)dx$
Se ho capito il quesito ovviamente.
Se il limite esiste 
Potresti (potreste) provare a trovare
\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tale che
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) non è zero (nello specifico, non esiste)
- \( \int_{\mathbb{R}}f(x)dx < \infty \)
Quello che hai scritto tu anto, conclude l'esercizio in ogni caso!
Potresti (potreste) provare a trovare
\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tale che
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) non è zero (nello specifico, non esiste)
- \( \int_{\mathbb{R}}f(x)dx < \infty \)
Quello che hai scritto tu anto, conclude l'esercizio in ogni caso!
"Bremen000":
Se il limite esiste
certo deve esserci questa ipotesi, necessariamente.
Forse non ho dato corda proprio a questo!
comunque penso che la soluzione al tuo quesito possa essere tranquillamente la funzione $f(x)=sin(x)$ in quanto
$F(x)=int_(-x)^(x)sin(t)dt=0,forallx in RR$
Allora facciamo così:
\( f: (0,\infty) \to [0, \infty) \) t.c. \( \int_{(0,\infty)} f(x)dx < \infty \) e con il limite all’infinito che non esiste (e dunque non è $0$).
\( f: (0,\infty) \to [0, \infty) \) t.c. \( \int_{(0,\infty)} f(x)dx < \infty \) e con il limite all’infinito che non esiste (e dunque non è $0$).
una funzione in mente l'ho, ma non ho idea di come scriverla 
vediamo se mi viene
$A=bigcup_(n in NN)(n,n+2^(-n)]$
$f(x)={(1 if x in A),(0 if x in RRsetminusA):}$
la funzione chiaramente non ammette limite in quanto se ci restringiamo ad uno dei due insiemi otteniamo due limiti diversi e chiaramente entrambi sono superiormente illimitati
L'integrale mi pare essere finito considerando la locale integrabilità sugli intervalli disgiunti e dovrebbe essere
penso sia giusta, bomba.
vediamo se mi viene$A=bigcup_(n in NN)(n,n+2^(-n)]$
$f(x)={(1 if x in A),(0 if x in RRsetminusA):}$
la funzione chiaramente non ammette limite in quanto se ci restringiamo ad uno dei due insiemi otteniamo due limiti diversi e chiaramente entrambi sono superiormente illimitati
L'integrale mi pare essere finito considerando la locale integrabilità sugli intervalli disgiunti e dovrebbe essere
$int_(0)^(+infty)f(x)dx=sum_(k=0)^(+infty)(1/2)^n=2$
penso sia giusta, bomba.
Si può anche rendere \( C^{\infty} \) volendo, ma l'idea di partenza è sempre quella!
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