Limite all'infinito con taylor
Salve. Nello studio di una funzione, in particolare la q di un asintoto obliquo, mi son imbattuto in un limite "particolare".
$q=\lim_{x \to \infty} root(3)((x(x^2-1)))-x $
Mi son ricondotto alla forma
$q=\lim_{x \to \infty} x*( root(3)(1-1/x^2)-1) $
Ora ho effettuato un cambio di variabile per poter utilizzare taylor in y=0
$y=1/x^2$
e son arrivato a
$q=\lim_{x \to \infty} x * \lim_{y \to 0} (1+1/3y-1/9y^2+o(y^2)-1)$
A questo punto ho letto in rete che, a quanto ho capito, posso eliminare $-1/9y^2$ in quanto ha coefficiente maggiore rispetto a quello con coefficiente minimo ($1/3y$), anche se non ho trovato nulla di simile sul mio libro.
Ho quindi sostituito nuovamente la y con il suo valore originale, e sono arrivato a
$q=\lim_{x \to \infty} x*( -1/(3x^2)+o(-1/x^2)) $
E qui mi son fermato, non sapendo come andare avanti.
Ne sfrutto l'occasione per chiedere, dato che su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?
Grazie in anticipo.
$q=\lim_{x \to \infty} root(3)((x(x^2-1)))-x $
Mi son ricondotto alla forma
$q=\lim_{x \to \infty} x*( root(3)(1-1/x^2)-1) $
Ora ho effettuato un cambio di variabile per poter utilizzare taylor in y=0
$y=1/x^2$
e son arrivato a
$q=\lim_{x \to \infty} x * \lim_{y \to 0} (1+1/3y-1/9y^2+o(y^2)-1)$
A questo punto ho letto in rete che, a quanto ho capito, posso eliminare $-1/9y^2$ in quanto ha coefficiente maggiore rispetto a quello con coefficiente minimo ($1/3y$), anche se non ho trovato nulla di simile sul mio libro.
Ho quindi sostituito nuovamente la y con il suo valore originale, e sono arrivato a
$q=\lim_{x \to \infty} x*( -1/(3x^2)+o(-1/x^2)) $
E qui mi son fermato, non sapendo come andare avanti.
Ne sfrutto l'occasione per chiedere, dato che su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Jaeger90,
Mi sa che hai fatto calcoli un po' inutili, perché si vede subito che si ha:
$ \lim_{x \to \pm \infty} root[3]{x(x^2-1)} - 1 = \pm \infty $
con ovvio significato dei simboli.
Mi sa che hai fatto calcoli un po' inutili, perché si vede subito che si ha:
$ \lim_{x \to \pm \infty} root[3]{x(x^2-1)} - 1 = \pm \infty $
con ovvio significato dei simboli.
Condivido ciò che dice pilloeffe, quei conti sono inutili. In ogni caso, il mischiare la $x$ e la $y$ è un ottimo sistema per sbagliare. Una volta che hai cambiato variabile, cambiala ovunque; se sei passato dalla $x$ alla $y$, la $x$ deve sparire.
Scusate, nello scrivere qui ho fatto un po' di errori. Ho corretto il post con i calcoli effettivi.
In questo caso trasformare anche il primo limite in y credo sia uno spreco di tempo dato che poi la y torna comunque alla x anche nell'altro limite separato.
Infatti il mio libro riporta proprio come ultimo passaggio quello che ho scritto io all'ultimo rigo (con variabile x), e poi da risultato 0, ma non so in base a cosa.
Inoltre sarebbe utile un chiarimento sul perchè il termine in $1/9y^2$ debba scomparire.
Grazie.
In questo caso trasformare anche il primo limite in y credo sia uno spreco di tempo dato che poi la y torna comunque alla x anche nell'altro limite separato.
Infatti il mio libro riporta proprio come ultimo passaggio quello che ho scritto io all'ultimo rigo (con variabile x), e poi da risultato 0, ma non so in base a cosa.
Inoltre sarebbe utile un chiarimento sul perchè il termine in $1/9y^2$ debba scomparire.
Grazie.
Beh, così come l'hai corretto è praticamente un limite notevole:
$ q = \lim_{x \to \infty} x(root[3](1-1/x^2)-1) = - lim_{x \to \infty} frac{root[3](1-1/x^2)-1}{-1/x^2}\cdot 1/x = - 1/3 \cdot 0 = 0 $
$ q = \lim_{x \to \infty} x(root[3](1-1/x^2)-1) = - lim_{x \to \infty} frac{root[3](1-1/x^2)-1}{-1/x^2}\cdot 1/x = - 1/3 \cdot 0 = 0 $
"pilloeffe":
Beh, così come l'hai corretto è praticamente un limite notevole:
$ q = \lim_{x \to \infty} x(root[3](1-1/x^2)-1) = - lim_{x \to \infty} frac{root[3](1-1/x^2)-1}{-1/x^2}\cdot 1/x = - 1/3 \cdot 0 = 0 $
Grazie, non ci avevo pensato!
Tuttavia il professore preferisce che venga utilizzato taylor e che si arrivi a
$q=\lim_{x \to \infty} x*( 1 -1/(3x^2)+o(-1/x^2)-1) $
e in questo caso non so come svolgere quest'ultimo passaggio.
"Jaeger90":
Grazie, non ci avevo pensato!
Prego!
"Jaeger90":
Tuttavia il professore preferisce che venga utilizzato taylor [...]
Mah, io onestamente queste fisime le comprendo poco...
Comunque è uguale, se moltiplichi tutto per $x $ ottieni $x - x $ più termini che tendono a zero per $x \to \infty $, per cui si conferma che il risultato è $ q = 0 $
Ah basta moltiplicare la x anche nell'o piccolo prima di dare il limite, quindi esce
$q=\lim_{x \to \infty} -1/(3x)+o(-1/x) $.
A questo punto il termine principale esce 0, ma che fine fa l'o piccolo nel limite? Cioè come si operano i limiti con gli o piccoli?
Inoltre davvero non capisco perchè il termine $-1/9y^2$ scompaia, essendo comunque di grado pari al grado dell'o piccolo.
E per ultimo, la domanda che avevo fatto all'inizio:
Su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?
$q=\lim_{x \to \infty} -1/(3x)+o(-1/x) $.
A questo punto il termine principale esce 0, ma che fine fa l'o piccolo nel limite? Cioè come si operano i limiti con gli o piccoli?
Inoltre davvero non capisco perchè il termine $-1/9y^2$ scompaia, essendo comunque di grado pari al grado dell'o piccolo.
E per ultimo, la domanda che avevo fatto all'inizio:
Su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?
"Jaeger90":
A questo punto il termine principale esce 0, ma che fine fa l'o piccolo nel limite? Cioè come si operano i limiti con gli o piccoli?
Inoltre davvero non capisco perchè il termine $−1/9y^2 $ scompaia, essendo comunque di grado pari al grado dell'o piccolo.
Dalle tue domande mi pare di capire che non hai ben chiaro il significato di $o$, per cui ti invito ad andarti a rivedere la relativa parte di teoria...
Per quanto riguarda il termine $−1/9y^2 $ poi esso "scompare" perché, dato che hai posto $y = 1/x^2 $, risulta un $o$ di ...... (completa), che moltiplicato per $x$ diventa un $o$ di ........ (completa) e pertanto è "inglobato" nell'$o(1/x) $ (a proposito, negli $o$ non si mettono i segni)
Ho rifatto i calcoli e mi esce
$q=\lim_{x \to \infty} x * (1-1/(3x^2)+1/(9x^4)+o(1/x^4)-1)$
Quindi il termine $1/(9x^4)$ non dovrebbe venir inglobato. Non so dove sbattere la testa.
$q=\lim_{x \to \infty} x * (1-1/(3x^2)+1/(9x^4)+o(1/x^4)-1)$
Quindi il termine $1/(9x^4)$ non dovrebbe venir inglobato. Non so dove sbattere la testa.
Sì che viene inglobato Jaeger90, infatti
$$q=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)-1 \right)=\lim_{x \to \infty} x\left(-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+\frac{1}{9x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)$$
All'ultimo passaggio viene appunto inglobato, perché? Se non sai rispondere, come ti hanno già suggerito è il caso di rivedere la definizione di $o$ piccolo.
Poi raccogli
$$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{3x} \left(1-\frac{o\left(\frac{1}{x} \right)}{-\frac{1}{3x}} \right)$$
Quindi, come concludi?
$$q=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)-1 \right)=\lim_{x \to \infty} x\left(-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+\frac{1}{9x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)$$
All'ultimo passaggio viene appunto inglobato, perché? Se non sai rispondere, come ti hanno già suggerito è il caso di rivedere la definizione di $o$ piccolo.
Poi raccogli
$$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{3x} \left(1-\frac{o\left(\frac{1}{x} \right)}{-\frac{1}{3x}} \right)$$
Quindi, come concludi?
"Mephlip":
Sì che viene inglobato Jaeger90, infatti
$$q=\lim_{x \to \infty} x\left(1-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right)-1 \right)=\lim_{x \to \infty} x\left(-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{9x^4}+o\left(\frac{1}{x^4}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+\frac{1}{9x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)$$
All'ultimo passaggio viene appunto inglobato, perché? Se non sai rispondere, come ti hanno già suggerito è il caso di rivedere la definizione di $o$ piccolo.
Poi raccogli
$$\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right)=\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{3x} \left(1-\frac{o\left(\frac{1}{x} \right)}{-\frac{1}{3x}} \right)$$
Quindi, come concludi?
Allora. l'$o(x^n)$ dovrebbe indicare il grado di approssimazione. Quindi tagliare fuori l' $1/(9x^3)$ richiede diminuire il grado dell'o piccolo a un $o(1/(n*x^2))$ oppure un $o(1/(n*x))$ a prescindere dall'n che può essere un numero reale qualsiasi dato che non dovrebbe influenzare l'infinitesimo.
Tuttavia, detto ciò, perchè approssimare in questo modo quando si può avere un termine più preciso?
Vedo che in alcuni casi vengono lasciati, per esempio:
$ x + x^2 + o(x^3) = x + x^2 + o(x^2) $
Mentre in altri casi, come mi sta suggerendo, lo si approssima direttamente come
$ x + x^2 + o(x^3) = x + o(x) $
Inoltre ho letto qualcosa di strano leggendo vari testi, cioè che
$ o(x^n) * senx = o(x^n*senx) = o(x^(n+1)) $
E non ne trovo il senso dato che, prima di tutto il valore a cui tende il limite non dovrebbe contare in alcun caso visto che esso si calcola DOPO il calcolo con l'algebra degli o piccoli o di una funzione qualsiasi (tranne, da come mi hanno detto in un'altra discussione, se un valore tende da destra o sinistra, e in quel caso si può tenere presente un valore positivo o negativo prima ancora di sostituirlo con un limite, e quindi usare un valore nonostante ci sia ancora una variabile nel limite).
Quindi, se x è un numero qualsiasi, come fa senx a essere considerato come x?
A ogni quesito ne nascono almeno 2 con la matematica, pardon.
Grazie del vostro tempo.
Up.
C'è un post fissato in alto, si chiama "I simboli di Landau", e spiega per bene come funzionano gli o-piccolo. Dagli un'occhiata. Devi usare delle definizioni precise e non delle idee approssimative come mi pare tu stia facendo.
Ho letto la guida. A livello teorico niente da dire.. ma mi viene un po' difficile interpretare il tutto nei casi da me citati. 
Up.
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