Limite all'infinito

[sine nomine1]

Buongiorno, cercavo di risolvere questo limite e sono bloccato.

$ lim_(n -> oo)(n^3e^(1/n)-nln(e^(n^2)+1))/(sin(e^n)+sqrt(1+n^5)*tan(1/(2sqrt(n)))) $

ho cominciato al numeratore raccogliendo un $ e^(n^2) $ dentro al logaritmo. Poi applicando il fatto che il logaritmo di un prodotto sia la somma dei logaritmi, semplificato il possibile e raccolto un $ n^3 $, ecco i passaggi:
$ lim_(n -> oo)(n^3e^(1/n)-nln[e^(n^2)(1+1/e^(n^2))])/(sin(e^n)+sqrt(1+n^5)*tan(1/(2sqrt(n)))) =$
$ =lim_(n -> oo)(n^3e^(1/n)-nln(e^(n^2))+nln(1+1/e^(n^2)))/(sin(e^n)+sqrt(1+n^5)*tan(1/(2sqrt(n)))) =$
$ =lim_(n -> oo)(n^3(e^(1/n)-1)+nln(1+1/e^(n^2)))/(sin(e^n)+sqrt(1+n^5)*tan(1/(2sqrt(n)))) $

da qui non ho idea di come andare avanti, al denominatore poi non so neanche come cominciare un aiuto?
Grazie in anticipo

[Luca.Lussardi]

Dando per scontato che sia tutto giusto fino a qui, osserva i comportamento dei 4 pezzi presi singolarmente, e' facile finirlo.

[kobeilprofeta]

Al numeratore credo tu abbia sbagliato un segno quando moltiplichi il log * n.

[Anacleto13]

Ciao sine nomine.. non stavi procedendo male, hai sbagliato solo un segno.. ma in questo caso non cambierà ai fini risolutivi..
Continuiamo da dove sei arrivato:

$ =lim_(n -> oo)(n^3(e^(1/n)-1)-nln(1+1/e^(n^2)))/(sin(e^n)+sqrt(1+n^5)*tan(1/(2sqrt(n)))) $

$(e^(1/n)-1) ~ 1/n$

$log(1+1/(e^(n^2))) ~ 1/(e^(n^2))$

$sqrt(1+n^5) ~ n^(5/2)$

$tan(1/(2sqrt(n))) ~ 1/(2sqrt(n)) $

Riscrivendo il limite hai:

$lim_(n -> oo) frac{n^2-n/(e^(n^2))}{sin(e^n)+n^2/2}$

Raccogliendo $n^2$

$lim_(n -> oo) (n^2(1-1/(e^(n^2)n)))/(n^2(sin(e^n)/n^2+1/2)$$=2$

[sine nomine1]

Grazie mille a tutti! Specialmente Anacleto!