Limite al variare di un parametro reale alfa

[cat89]

i limite è il seguente
$ lim_(x -> 0) (x^alpha xx arcsin x^2)/(2xx cos x-2+tan ^2x $
ho provato a risolverlo mettendo in evidenzia i singoli limiti notevoli
$ ((arcsin x^2/x^2xx x^2)xxx^alpha )/(-2xx((1-cosx)/x^2xxx^2)+tan^2x $
continuando
$ (x^2xxx^alpha )/(-2xx(1/2)xxx^2+tan^2x $
$ (x^2xxx^alpha )/(-x^2+tan^2x $
arrivata a questo punto ho dei dubbi che non mi fanno andare avanti:
1) $ tan^2x $posso ricondurla al prodotto dei seguenti limiti: $ lim_(x -> 0) (x xxtanx/x xxx xx tanx/x) $ ovvero
x^2 (essendo il prodotto di due limiti notevoli che danno risultato 1 moltiplicato per x)
2) devo provare a mettere in evidenzia x^2, svolgendo in questo modo?
$ lim_(x -> 0) (x^2 xx(x^alpha )/(-1+((tanx)^2)/x^2)) $
negli esercizi simili che ho svolto il parametro alfa lo individuavo come ultimo passaggio in quanto ritrovavo sempre un rapporto tra x elevato ad alfa e una certa x elevata ad un numero. quindi ricavavo tre soluzioni in base al fatto che alfa potesse essere uguale maggiore o minore di quel determinato numero. ma in questo caso non riesco a ritrovare questo famoso rapporto finale.

[cooper1]

va bene la risoluzione 1)
$(x^(alpha+2))/(-1+(tan^2x)/x^2 * x^2)=(x^(alpha+2))/(x^2-1)$
ora mandiamo a zero la x e studiamo il comportamento del limite.
1. il denominatore va come -1
2. il numeratore se $alpha=-2$ va come 1, se $alpha > -2$ va come 0, se $alpha < -2$ va come $+-oo$ a seconda che arrivi rispettivamente da destra o sinistra dello zero.
mettendo insieme queste considerazioni il limite cosa fa?

[cat89]

alfa =-2 e quindi si limite = -1;
alfa > -2 lim=inf
alfa< -2 lim= 0

ok.
ma non mi ritrovo con la soluzione, in quanto il limite da risolvere è questo
$ (x^2xxx^alpha )/(-x^2+tan^2x $
quindi
$ x^(alpha +2)/(-x^2+ ((tanx/x)xxx xx(tanx/x)xxx) $
e quindi non mi ritrovo in quello che hai scritto:
$ (x^(alpha+2))/(-1+(tan^2x)/x^2 * x^2)=(x^(alpha+2))/(x^2-1) $
ma mi trovo :
$ x^(alpha +2)/(-x^2+ x^2) $
ed è qui che non ries o a capire come procedere nel commentare la variazione di alfa

[cooper1]

e fai bene a non trovarti perchè ho ripreso (male) i tuoi conti senza rifarli. al denominatore serve che sviluppi con Taylor fino al 4° ordine perchè hai appunto quei $x^2$ che si compensano

[cat89]

"cooper":e fai bene a non trovarti perchè ho ripreso (male) i tuoi conti senza rifarli. al denominatore serve che sviluppi con Taylor fino al 4° ordine perchè hai appunto quei $x^2$ che si compensano

devo sviluppare la tangente con taylor quindi
ottengo questo:
$ x^(2+alpha)/(-x^2+(x^2+1/3xxx^5+2/15xxx^7+17/315xxx^9) $
perche fino all'ordine 4? non bastava il secondo ordine in modo da ottenere il confronto tra:
$ x^(2+alpha)/(1/3xxx^5) $
e dunque porre $ alfa=3 $ e $ lim=3 $
$ alfa > 3 $ e $ lim=0 $
$ alpha<3 $ e $ lim= oo $

[cooper1]

devi sviluppare sia il coseno che la tangente fino al 4 ordine.

[cat89]

"cooper":devi sviluppare sia il coseno che la tangente fino al 4 ordine.

OK! ottengo:

$ x^(2+alpha)/(2xx(1-x^2/2+x^4/24-x^6/720)-2+(x^2+1/3xxx^5+2/15xxx^7+17/315xxx^9) $

$ x^(2+alpha)/(2-x^2+x^4/12-x^6/360-2+x^2+1/3xxx^5+2/15xxx^7+17/315xxx^9) $

$ x^(2+alpha)/(x^4/12-x^6/360+x^5/3+2/15xxx^7+17/315xxx^9) $

[cooper1]

hai sbagliato a sviluppare la tangente. l'argomento non è $x^2$ ma $x$. quindi lo sviluppo corretto è: $(x+x^3/3+o(x^3))^2=x^2+2/3x^4+o(x^4)$

[Mephlip]

Applichiamo Taylor a tutto in quanto, per $x\to0$, tutte le funzioni da trattare in questo limite hanno argomento che tende a $0$ e quindi sono sviluppabili.

Sviluppiamo il numeratore con Taylor:

$$x^\alpha \arcsin (x^2)= x^\alpha[x^2+o(x^2)]=x^{\alpha+2}+o(x^{\alpha+2})$$

Mi sono fermato al primo ordine dell'arcoseno in quanto non c'è alcun rischio che si annulli qualcosa, essendoci solo un prodotto al numeratore.

Sviluppiamo ora il denominatore. Come hai già notato, fermandoci al primo ordine si annulla tutto; o meglio, rimane l'o-piccolo quindi non puoi dedurre nulla e devi proseguire lo sviluppo.
(metti sempre l'o-piccolo)

Quindi il denominatore è

$$2\cos x -2 +\tan^2 x=2\left[1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+o(x^4)\right]-2+\left[x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\right]^2=$$

$$=2-x^2+\frac{1}{12}x^4+o(x^4)-2+x^2+\frac{1}{9}x^6+\frac{2}{3}x^4+o(x^4)$$

Notiamo ora che il termine di sesto grado è un o-piccolo di $x^4$: perciò lo cestiniamo buttandolo nell'o-piccolo infine, facendo le dovute somme, il denominatore è

$$2-x^2+\frac{1}{12}x^4+o(x^4)-2+x^2+\frac{1}{9}x^6+\frac{2}{3}x^4+o(x^4)=\frac{3}{4}x^4+o(x^4)$$

Mettendo tutto insieme

$$\lim_{x\to0}\frac{x^\alpha \arcsin x^2}{2\cos x +x^2 +\tan^2 x}=\lim_{x\to0}\frac{x^{\alpha+2}+o(x^{\alpha+2})}{\frac{3}{4}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Adesso bisogna discutere il parametro $\alpha$:

1) Discutiamo il caso in cui il limite è un numero reale: questo quando può accadere? Può accadere quando numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, ossia quando $\alpha+2=4$; perciò quando $\alpha=2$.
Infatti, se $\alpha=2$, si ha

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\frac{4}{3} \lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}=\frac{4}{3}$$

2) Discutiamo ora il caso di quando il limite è nullo: questo accade quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore; infatti, se $\alpha+2>4$, ossia se $\alpha>2$, si ha che il numeratore ha un grado maggiore del denominatore e quindi

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha-2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Perciò abbiamo una potenza con esponente strettamente positivo che tende a zero solo al numeratore: quindi, passando a limite per $x\to0$, per $\alpha>2$ il limite è $0$.

3) Rimane infine da discutere il caso in cui il limite è a $\infty$: quando si presenta questa eventualità?
Questo avviene quando il grado del denominatore supera quello del numeratore, ossia se $\alpha+2<4$, perciò se $\alpha<2$; infatti, se $\alpha<2$, si ha che il denominatore ha un grado maggiore del numeratore e quindi

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}}{\frac{3}{4}x^{2-\alpha}\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Essendo in questo caso $\alpha<2$, si ha che $2-\alpha>0$ e dunque è presente una variabile $x$ al denominatore con esponente strettamente positivo che, passando al limite per $x\to0$, fa tendere la frazione a $\infty$.

C'è un ultimo dettaglio da sistemare: a causa del fatto che $x\to0$ e non $x\to0^+$ oppure $x\to0^-$, in questo caso il limite è $+\infty$ se $x\to0^+$ oppure il limite è $-\infty$ se $x\to0^-$; perciò a rigore il limite non esiste.
Controlla bene se il limite ha una tendenza verso $0$ positiva o negativa, se dovesse averla allora hai una discussione completa dei tre casi; altrimenti, per $x\to0$ risulta che il limite non esiste
(in realtà credo andrebbero discussi anche i valori per cui $2-\alpha$ è pari o dispari, ma così questo limite inizia a diventare la caricatura di sé stesso).

[cat89]

"Mephlip":Applichiamo Taylor in quanto, per $x\to0$, tutte le funzioni da trattare in questo limite hanno argomento che tende a $0$ e quindi sono sviluppabili.

Sviluppiamo il numeratore con Taylor:

$$x^\alpha \arcsin (x^2)= x^\alpha[x^2+o(x^2)]=x^{\alpha+2}+o(x^{\alpha+2})$$

Mi sono fermato al primo ordine dell'arcoseno in quanto non c'è alcun rischio che si annulli qualcosa, essendoci solo un prodotto al numeratore.

Sviluppiamo ora il denominatore. Come hai già notato, fermandoci al primo ordine si annulla tutto; o meglio, rimane l'o-piccolo e quindi non puoi dedurre nulla e devi proseguire lo sviluppo.
(metti sempre l'o-piccolo)

Quindi il denominatore è

$$2\cos x -2 +\tan^2 x=2\left[1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+o(x^4)\right]-2+\left[x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\right]^2=$$

$$=2-x^2+\frac{1}{12}x^4+o(x^4)-2+x^2+\frac{1}{9}x^6+\frac{2}{3}x^4+o(x^4)$$

Notiamo ora che il termine di sesto grado è un o-piccolo di $x^4$: perciò lo cestiniamo buttandolo nell'o-piccolo infine, facendo le dovute somme, il denominatore è

$$=2-x^2+\frac{1}{12}x^4+o(x^4)-2+x^2+\frac{1}{9}x^6+\frac{2}{3}x^4+o(x^4)=\frac{3}{4}x^4+o(x^4)$$

Mettendo tutto insieme

$$\lim_{x\to0}\frac{x^\alpha \arcsin x^2}{2\cos x +x^2 +\tan^2 x}=\lim_{x\to0}\frac{x^{\alpha+2}+o(x^{\alpha+2})}{\frac{3}{4}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Adesso bisogna discutere il parametro $\alpha$:

1) Discutiamo il caso in cui il limite è un numero reale: questo quando può accadere? Può accadere quando numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, ossia quando $\alpha+2=4$; perciò quando $\alpha=2$.
Infatti, se $\alpha=2$, si ha

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\frac{4}{3} \lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}=\frac{4}{3}$$

2) Discutiamo ora il caso di quando il limite è nullo: questo accade quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore; infatti, se $\alpha+2>4$, ossia se $\alpha>2$, si ha che il numeratore ha un grado maggiore del denominatore e quindi

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha-2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Perciò abbiamo una potenza con esponente strettamente positivo che tende a zero solo al numeratore: quindi, passando a limite per $x\to0$, per $\alpha>2$ il limite è $0$.

3) Rimane infine da discutere il caso in cui il limite è a $\infty$: quando si presenta questa eventualità?
Questo avviene quando il grado del denominatore supera quello del denominatore, ossia se $\alpha+2<4$, perciò se $\alpha<2$; inatti, se $\alpha<2$, si ha che il denominatore ha un grado maggiore del numeratore e quindi

$$\lim_{x\to0} \frac{x^{\alpha+2}\left[1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}\right]}{\frac{3}{4}x^4\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^{\alpha+2})}{x^{\alpha+2}}}{\frac{3}{4}x^{2-\alpha}\left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}$$

Essendo in questo caso $\alpha<2$, si ha che $2-\alpha>0$ e dunque è presente una variabile $x$ al denominatore che, passando al limite per $x\to0$, fa tendere la frazione a $\infty$.

C'è un ultimo dettaglio da sistemare: a causa del fatto che $x\to0$ e non $x\to0^+$ oppure $x\to0^-$, in questo caso il limite è $+\infty$ se $x\to0^+$ oppure il limite è $-\infty$ se $x\to0^-$; perciò a rigore il limite non esiste.
Controlla bene se il limite ha una tendenza verso $0$ positiva o negativa, se dovesse averla allora hai una discussione completa dei tre casi; altrimenti, per $x\to0$ risulta che il limite non esiste
(in realtà credo andrebbero discussi anche i valori per cui $2-\alpha$ è pari o dispari, ma così questo limite inizia a diventare la caricatura di sé stesso).

GRAZIE MILLE!
spiegazione chiarissima, e ora ho capito in cosa sbaglio quando faccio lo svilupo di taylor per una funzione con esponente, come in questo caso la tangente, poi non omettere mai l'o-piccolo e regolarsi funzione per funzione a quale grado fermarsi!

[Mephlip]

"deb89":GRAZIE MILLE! spiegazione chiarissima

Prego e grazie!

"deb89":e ora ho capito in cosa sbaglio quando faccio lo svilupo di taylor per una funzione con esponente, come in questo caso la tangente

I limiti con Taylor sono pieni di queste insidie: le composizioni tra funzioni possono generare dei termini di ordine importante (come in questo caso quel $\frac{2}{3}x^4$) che a prima occhiata non si vedono.
Tanto esercizio e soprattutto mai esaltarsi: a un certo punto si pensa di averli capiti ed ecco che la composizione ci frega.
Il mio consiglio è: nel dubbio sviluppa sempre più del dovuto, al massimo fai un po' di conti in più ma con la giusta attenzione alla fine hai tutti termini inutili da buttare nell'o-piccolo; se sviluppi meno fai un errore di approssimazione e il limite è certamente errato.

"deb89":poi non omettere mai l'o-piccolo e regolarsi funzione per funzione a quale grado fermarsi!

Esatto: per esempio, se si fossero annullati anche tutti i termini di quarto grado al denominatore sarebbe rimasto un o-piccolo errante con argomento una potenza di grado maggiore di $4$ (ad esempio $o(x^5)$ oppure $o(x^6)$) e ciò ti avrebbe suggerito che sarebbe stato necessario andare oltre con lo sviluppo.
Di solito (non è una regola generale sia chiaro, però è una "tecnica") si prende o il numeratore o il denominatore e si vede qual è il suo ordine di infinitesimo, in modo tale da avere a priori un'informazione su come trattare l'altro che rimane; in questo caso il numeratore era immediato a causa di quel prodotto, non è sempre così.
Quindi si prende ciò che è più facile determinare e si sviluppa l'altro di conseguenza.