Limite al variare di un parametro
Ciao a tutti, devo svolgere questo esercizio.
Calcolare il limite $\lim_{x \to 0} (\sin(x+x^2)-\ln(1+x^2)-x)/(x^a)$ al variare di $a in RR$.
Non capisco bene quale sia il procedimento da fare in questi casi.
Ho provare a svolgere il limite per $a=0$ e $a=1$ e ho ottenuto che per $a=0$ il limite vale $0$, mentre per $a=1$ il limite vale $1$.
E poi? Cosa devo fare? Mica posso calcolare tutti i casi...
Grazie
Calcolare il limite $\lim_{x \to 0} (\sin(x+x^2)-\ln(1+x^2)-x)/(x^a)$ al variare di $a in RR$.
Non capisco bene quale sia il procedimento da fare in questi casi.
Ho provare a svolgere il limite per $a=0$ e $a=1$ e ho ottenuto che per $a=0$ il limite vale $0$, mentre per $a=1$ il limite vale $1$.
E poi? Cosa devo fare? Mica posso calcolare tutti i casi...
Grazie
Risposte
Usando gli sviluppi in serie di Taylor al numeratore:
$ sin(x+x^2)-ln(1+x^2)-x=(x+x^2-x^3/6+o(x^3))-(x^2+o(x^3))-x=-x^3/6+o(x^3) $
Ora confronta con il denominatore...
$ sin(x+x^2)-ln(1+x^2)-x=(x+x^2-x^3/6+o(x^3))-(x^2+o(x^3))-x=-x^3/6+o(x^3) $
Ora confronta con il denominatore...
Si può fare usando solo gli sviluppi di Taylor?
Credo proprio di si, in quanto vengono coinvolti a numeratore termini di grado superiore al $2°$, quindi non è sufficiente usare gli asintotici, non vorrei sbagliarmi ma nel tuo caso il limite vale $0$ per $a<3$ , vale $-1/6$ per $a=3$ e dovrebbe valere $-infty$ per $a>3$, se non sbaglio, prova a verificarlo .
Se avessi avuto un limite tipo $lim_(x->0)(sin(x+x^2)-x)/(x^a)$ qui avrei potuto usare gli asintotici, e avrei $lim_(x->0)(x+x^2-x)/x^2$, e chiaramente per $a=2$ avrei avuto che il limite vale $1$,....ecc,ecc.
Magari mi sbaglio, aspettiamo , cosa dice @ostrogoto.
Saluti!
Se avessi avuto un limite tipo $lim_(x->0)(sin(x+x^2)-x)/(x^a)$ qui avrei potuto usare gli asintotici, e avrei $lim_(x->0)(x+x^2-x)/x^2$, e chiaramente per $a=2$ avrei avuto che il limite vale $1$,....ecc,ecc.
Magari mi sbaglio, aspettiamo , cosa dice @ostrogoto.
Saluti!
"francicko":
Credo proprio di si, in quanto vengono coinvolti a numeratore termini di grado superiore al $2°$, quindi non è sufficiente usare gli asintotici, non vorrei sbagliarmi ma nel tuo caso il limite vale $0$ per $a<3$ , vale $-1/6$ per $a=3$ e dovrebbe valere $-infty$ per $a>3$, se non sbaglio, prova a verificarlo .
Se avessi avuto un limite tipo $lim_(x->0)(sin(x+x^2)-x)/(x^a)$ qui avrei potuto usare gli asintotici, e avrei $lim_(x->0)(x+x^2-x)/x^2$, e chiaramente per $a=2$ avrei avuto che il limite vale $1$,....ecc,ecc.
Magari mi sbaglio, aspettiamo , cosa dice @ostrogoto.
Saluti!
Grazie
Non riesco a trovare una maniera per ottenere il termine in $ x^3 $ del $ sen(x+x^2) $ senza usare lo sviluppo di Taylor quindi sono d'accoro con francicko...
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