Limite al variare di parametro e forme indeterminate
Salve a tutti,
sto cercando di esercitarmi con i limiti al variare di un parametro (posizionato fastidiosamente come esponente) e mi sto spesso bloccando quando c'è di mezzo lo zero.
Vi faccio un paio di esempi
$lim_(x->0+)x^(a/2)*(e^(x)-root(2)(1-(ln(x+1))^2))$
In questo caso, la prima funzione esponenziale va studiata al variare in $RR$ del parametro a, mentre il resto della funzione tra parentesi tende a 0 per X->0+.
Secondo l'eserciziario:
-con a>0 ottengo come risultato del limite 0
-con a<0 la forma indeterminata $infty*0$
-con a=0 ottengo ancora 0
(poi ci sono dei passaggi per ricondurre la funzione ad una equivalente per essere trattata con de L'Hopital per risolvere l'indeterminazione del caso a<0)
Come sono possibili tali risultati? Da quel che so, $0^0$ è una forma indeterminata per 2 motivi: nel caso si tratti di zeri assoluti (algebra semplice), c'è il paradosso che $0^x=0$ e contemporaneamente $x^0=1$, quindi l'operazione è impossibile perchè assegnare un risultato minerebbe le fondamenta della matematica; nel caso si tratti di infinitesimi (ovvero quantità moooolto piccole), bisogna studiare bene quale dei due infinitesimi tende più velocemente a zero, poichè il risultato di $0^0$ non è detto sia ancora un infinitesimo ma forse anche un infinito...
In pratica non sono sicuro di quel che dice l'eserciziario nel caso del comportamento del limite nell'intervallo $-1
Un problema simile lo trovo in quest'altro limite, sempre con miei problemi inerenti all'interpretazione dello zero:
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3/(x^a))$
L'eserciziario mi dice che riscrivendo il limite in $e^(lim_(x->0+)(3/(x^a))*ln((1+e^(sin(x)))/2))$
studiando il variare del parametro a accade che (notando che il logaritmo naturale tende sempre a 0):
-con a<0 ottengo 0
-con a=0 ottengo ancora una volta 0
-con a>0 ottengo la forma intederminata $infty*0$
Qui ho lo stesso dubbio: ma $3/0^0$ non è indeterminata? E soprattutto quando a=0, che diamine succede con un infinitesimo elevato a zero assoluto(ricordandoci anche il campo di esistenza delle frazioni)?
Anche questo limite poi viene ricondotto ad una forma risolvibile con de L'Hopital, ma davvero non mi tornano le affermazioni iniziali dell'eserciziario!
Ah quello che io chiamo eserciziario è in realtà la bozza degli esoneri di analisi matematica dell'anno scorso, con tanto di soluzioni, il tutto scritto fino all'ultimo limite dal professore (quindi dubito che l'eserciziario sbagli)!
Grazie mille...
sto cercando di esercitarmi con i limiti al variare di un parametro (posizionato fastidiosamente come esponente) e mi sto spesso bloccando quando c'è di mezzo lo zero.
Vi faccio un paio di esempi
$lim_(x->0+)x^(a/2)*(e^(x)-root(2)(1-(ln(x+1))^2))$
In questo caso, la prima funzione esponenziale va studiata al variare in $RR$ del parametro a, mentre il resto della funzione tra parentesi tende a 0 per X->0+.
Secondo l'eserciziario:
-con a>0 ottengo come risultato del limite 0
-con a<0 la forma indeterminata $infty*0$
-con a=0 ottengo ancora 0
(poi ci sono dei passaggi per ricondurre la funzione ad una equivalente per essere trattata con de L'Hopital per risolvere l'indeterminazione del caso a<0)
Come sono possibili tali risultati? Da quel che so, $0^0$ è una forma indeterminata per 2 motivi: nel caso si tratti di zeri assoluti (algebra semplice), c'è il paradosso che $0^x=0$ e contemporaneamente $x^0=1$, quindi l'operazione è impossibile perchè assegnare un risultato minerebbe le fondamenta della matematica; nel caso si tratti di infinitesimi (ovvero quantità moooolto piccole), bisogna studiare bene quale dei due infinitesimi tende più velocemente a zero, poichè il risultato di $0^0$ non è detto sia ancora un infinitesimo ma forse anche un infinito...
In pratica non sono sicuro di quel che dice l'eserciziario nel caso del comportamento del limite nell'intervallo $-1
Un problema simile lo trovo in quest'altro limite, sempre con miei problemi inerenti all'interpretazione dello zero:
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3/(x^a))$
L'eserciziario mi dice che riscrivendo il limite in $e^(lim_(x->0+)(3/(x^a))*ln((1+e^(sin(x)))/2))$
studiando il variare del parametro a accade che (notando che il logaritmo naturale tende sempre a 0):
-con a<0 ottengo 0
-con a=0 ottengo ancora una volta 0
-con a>0 ottengo la forma intederminata $infty*0$
Qui ho lo stesso dubbio: ma $3/0^0$ non è indeterminata? E soprattutto quando a=0, che diamine succede con un infinitesimo elevato a zero assoluto(ricordandoci anche il campo di esistenza delle frazioni)?
Anche questo limite poi viene ricondotto ad una forma risolvibile con de L'Hopital, ma davvero non mi tornano le affermazioni iniziali dell'eserciziario!
Ah quello che io chiamo eserciziario è in realtà la bozza degli esoneri di analisi matematica dell'anno scorso, con tanto di soluzioni, il tutto scritto fino all'ultimo limite dal professore (quindi dubito che l'eserciziario sbagli)!
Grazie mille...
Risposte
"Kristian0":
Come sono possibili tali risultati?
Quali risultati?
"Seneca":
[quote="Kristian0"]Come sono possibili tali risultati?
Quali risultati?[/quote]
Intendevo dire i risultati elencati al variare del parametro a
"Kristian0":
Secondo l'eserciziario:
-con a>0 ottengo come risultato del limite 0
-con a<0 la forma indeterminata $infty*0$
-con a=0 ottengo ancora 0
(poi ci sono dei passaggi per ricondurre la funzione ad una equivalente per essere trattata con de L'Hopital per risolvere l'indeterminazione del caso a<0)
Questi, per capirci...
"Kristian0":
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3/(x^a))$
Il parametro $a$ va assegnato prima di calcolare il limite. Cioè per $a = 0$ trovi che:
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3)$
e appena adesso fai tendere $x$ a $0$. Questo è il tuo limite: non hai una forma interminata del tipo $0^0$.
In effetti $lim_( x -> 0^+) x^0 = lim_(x -> 0^+) 1 = 1$
"Seneca":
[quote="Kristian0"]
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3/(x^a))$
Il parametro $a$ va assegnato prima di calcolare il limite. Cioè per $a = 0$ trovi che:
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3)$
e appena adesso fai tendere $x$ a $0$. Questo è il tuo limite: non hai una forma interminata del tipo $0^0$.
In effetti $lim_( x -> 0^+) x^0 = lim_(x -> 0^+) 1 = 1$[/quote]
Uhm questo ragionamento è interessante! Ma se il parametro deve essere fissato prima di far il calcolo, nel caso di a<0 o a>0 con il limite sopracitato, che valore fisso al posto di a? Rispettivamente $-infty$ e $+infty$ ?
No, no. La consideri una costante positiva/negativa (rispettivamente) e basta, lasciandola indicata $a$ (potresti anche aver bisogno di scindere ulteriormente lo studio in più casi).
Uhm mi piace il tuo ragionamento, mi si cominciano a schiarire le idee 
Un'ultima domanda però:
Fissando il parametro a nella prima forma del limite e nella seconda forma (quella col logartimo per intenderci), cambiano profondamente i risultati:
nel primo caso avrei un $((2+)/2)^3=~1$ e nel secondo caso un $3*(0+)=~0$. Dove sta l'errore?
Un'ultima domanda però:
"Kristian0":
Salve a tutti,
$lim_(x->0+)((1+e^(sin(x)))/2)^(3/(x^a))$
L'eserciziario mi dice che riscrivendo il limite in $e^(lim_(x->0+)(3/(x^a))*ln((1+e^(sin(x)))/2))$
studiando il variare del parametro a accade che (notando che il logaritmo naturale tende sempre a 0):
-con a<0 ottengo 0
-con a=0 ottengo ancora una volta 0
-con a>0 ottengo la forma intederminata $infty*0$
Fissando il parametro a nella prima forma del limite e nella seconda forma (quella col logartimo per intenderci), cambiano profondamente i risultati:
nel primo caso avrei un $((2+)/2)^3=~1$ e nel secondo caso un $3*(0+)=~0$. Dove sta l'errore?
"Kristian0":
nel secondo caso un $3*(0+)=~0$ ...
Però quello è solo il limite dell'esponente...
"Seneca":
[quote="Kristian0"] nel secondo caso un $3*(0+)=~0$ ...
Però quello è solo il limite dell'esponente...[/quote]
Ecco perchè non tornava, ho trascritto male! Mi è sfuggita la $e$ fuori dal limite!
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