Limite al variare di K
Purtroppo non ho ben capito la logica da seguire per capire come varia un limite al variare del K:
ovviamente ci ho provato a capire...ma la mia conclusione è stata:
$\lim_{n \to \infty}(1+ (n+1)/(n^k))^n$
A questo punto ho messo $e^(nlog(1+(n+1)/(n^k)))$ e poi ho sfruttato i limiti notevoli...$e^((n^2+n)/(n^k))$
spero di aver fatto bene...
il risultato è stato
ho preso k=2 perché appunto al numeratore della potenza c'è $n^2$ e dunque studio... se k=2 allora l'ordine superiore fa sì che $e^1$ faccia $e$
poi se k<2 allora ho dedotto che il numeratore è di ordine superiore rispetto al denominatore e quindi $e^+infty$ mi da +infty
infine se k>2 allora il denominatore è di ordine superiore o meglio, più grande del numeratore, e quindi $e^0$ fa 1 ma qui il mio ragionamento non è giusto perché in realtà dovrebbe fare 0... perché? forse perché $e^(1/n)$ se si guarda il grafico effettivamente va a $o$?
in più secondo me è già sbagliato dall'inizio il mio ragionamento!
scusatemi ma su questo argomento non ho molto le idee chiare
come ragionare? Saprebbe qualcuno spiegarmi meglio?
Grazie
ovviamente ci ho provato a capire...ma la mia conclusione è stata:
$\lim_{n \to \infty}(1+ (n+1)/(n^k))^n$
A questo punto ho messo $e^(nlog(1+(n+1)/(n^k)))$ e poi ho sfruttato i limiti notevoli...$e^((n^2+n)/(n^k))$
spero di aver fatto bene...
il risultato è stato
ho preso k=2 perché appunto al numeratore della potenza c'è $n^2$ e dunque studio... se k=2 allora l'ordine superiore fa sì che $e^1$ faccia $e$
poi se k<2 allora ho dedotto che il numeratore è di ordine superiore rispetto al denominatore e quindi $e^+infty$ mi da +infty
infine se k>2 allora il denominatore è di ordine superiore o meglio, più grande del numeratore, e quindi $e^0$ fa 1 ma qui il mio ragionamento non è giusto perché in realtà dovrebbe fare 0... perché? forse perché $e^(1/n)$ se si guarda il grafico effettivamente va a $o$?
in più secondo me è già sbagliato dall'inizio il mio ragionamento!
scusatemi ma su questo argomento non ho molto le idee chiare
come ragionare? Saprebbe qualcuno spiegarmi meglio?
Grazie
Risposte
Abbiamo che:
$lim_(n \to +oo) (1+(n+1)/n^k)^n =lim_(n \to +oo) (1+1/(n^k/(n+1)))^n = lim_(n \to +oo) [(1+1/(n^k/(n+1)))^(n^k/(n+1))]^(n*(n+1)/n^k)$
Ora, se $k<=1$ allora il limite è $+oo$, al contrario invece, se $k>1$:
$lim_(n \to +oo) (1+(n+1)/n^k)^n = lim_(n \to +oo) e^(n*(n+1)/n^k) = lim_(n \to +oo) e^((n+1)/n^(k-1)) = {(e text{ se k=2}),(+oo text{ se 12}):}$
$lim_(n \to +oo) (1+(n+1)/n^k)^n =lim_(n \to +oo) (1+1/(n^k/(n+1)))^n = lim_(n \to +oo) [(1+1/(n^k/(n+1)))^(n^k/(n+1))]^(n*(n+1)/n^k)$
Ora, se $k<=1$ allora il limite è $+oo$, al contrario invece, se $k>1$:
$lim_(n \to +oo) (1+(n+1)/n^k)^n = lim_(n \to +oo) e^(n*(n+1)/n^k) = lim_(n \to +oo) e^((n+1)/n^(k-1)) = {(e text{ se k=2}),(+oo text{ se 1
Ok, ho capito quasi tutto!
Non ho capito perché dopo $\lim_{n \to \infty}(1+(1/((n^k)/(n+1))))^((n^k)/(n+1))$ hai elevato anche alla $n*((n+1)/(n^k))$
Io ho pensato che hai posto $y=((n^k)/(n+1))$ poiché $(1+y)^(1/y)=e$... ma non riesco
Puoi spiegarmi per favore il passaggio che hai svolto che non ho capito?
Non ho capito perché dopo $\lim_{n \to \infty}(1+(1/((n^k)/(n+1))))^((n^k)/(n+1))$ hai elevato anche alla $n*((n+1)/(n^k))$
Io ho pensato che hai posto $y=((n^k)/(n+1))$ poiché $(1+y)^(1/y)=e$... ma non riesco
Puoi spiegarmi per favore il passaggio che hai svolto che non ho capito?
Sappiamo che:
$lim_(x to +oo) (1+1/x)^x = e$
qui ho solo posto $x=n^k/(n+1)$, poi ho dovuto modificare l'esponente moltiplicando per l'inverso proprio per non modificare l'espressione.
$lim_(x to +oo) (1+1/x)^x = e$
qui ho solo posto $x=n^k/(n+1)$, poi ho dovuto modificare l'esponente moltiplicando per l'inverso proprio per non modificare l'espressione.
Ok!
Adesso mi è chiaro!
Grazie per la pazienza!
Adesso mi è chiaro!
Grazie per la pazienza!
Di nulla! 
Ehm... mi stavo esercitando adesso su questi limiti al variare di K e mi trovo in difficoltà con questo:
$\lim_{n \to \infty}(n^3+(-1)^n+k)/(k^n+2n-7)$
Sono in difficoltà perché io so che il $\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ non esiste... in più sarebbe questo il valore al numeratore di ordine superiore...
Come faccio?
$\lim_{n \to \infty}(n^3+(-1)^n+k)/(k^n+2n-7)$
Sono in difficoltà perché io so che il $\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ non esiste... in più sarebbe questo il valore al numeratore di ordine superiore...
Come faccio?
Osserva:
$n^3+(-1)^n+k \sim n^3$ quando $n to +oo$
e poi:
$k^n+2n-7 \sim {(k^n text{ se |k|>1}),(2n text{ se |k|<1}):}$ quando $n to +oo$
da qui allora il limite è quasi finito... prova continuare tu!
$n^3+(-1)^n+k \sim n^3$ quando $n to +oo$
e poi:
$k^n+2n-7 \sim {(k^n text{ se |k|>1}),(2n text{ se |k|<1}):}$ quando $n to +oo$
da qui allora il limite è quasi finito... prova continuare tu!
Penso di aver capito! (mi sono fatta imbrogliare sa $(-1)^n$)
Se $k>1$ considero $n^3/(k^n)$ dunque un numero su infinito fa $0$
Se $k<1$ considero $n^3/(2n)$ e quindi fa $+oo$
Ma se k fosse 1... è indeterminata? perché al denominatore avrei $(1)^oo$... oppure al denominatore dovrei prendere direttamente $2n$ e allora il risultato sarebbe $+oo$ anche lì?
(secondo me se $k=1$ allora è indeterminata)
Se $k>1$ considero $n^3/(k^n)$ dunque un numero su infinito fa $0$
Se $k<1$ considero $n^3/(2n)$ e quindi fa $+oo$
Ma se k fosse 1... è indeterminata? perché al denominatore avrei $(1)^oo$... oppure al denominatore dovrei prendere direttamente $2n$ e allora il risultato sarebbe $+oo$ anche lì?
(secondo me se $k=1$ allora è indeterminata)
Se moltiplichi infinite volte il numero $1$ per se stesso rimane il numero $1$!!! Non confonderti con ciò che tende a $1$ con ciò che è $1$.
Quindi se $k=1$ il limite va a $+oo$.
Quindi se $k=1$ il limite va a $+oo$.
Grazie!Grazie Lord K anche per la pazienza!
Adesso che ho capito gli errori vedrò di non rifarli
Grazie ancora!
Di nulla!
Ho un altro limite al variare di K (l'ultimo 
!)
Il limite tende a zero più cioè da destra... mi è venuto scritto male, spero si capisca comunque...
$\lim_{n \to \0+}((sin x^3)/(x^k(log(1+x))))+(x^(k-2))$
Io con i limiti notevoli sono arrivata a $\lim_{n \to \0+}(x^2/x^k)+x^(k-2)$
Dunque ho studiato $k=2$ e mi viene $2$... penso... ma gli altri risultati non li saprei dare...dimenticavo---> $kin[0,+oo)$
Forse se $k>2$ va a $+oo$ mentre se $0
Come va risolta e quali risultati si ottiene?
!)Il limite tende a zero più cioè da destra... mi è venuto scritto male, spero si capisca comunque...
$\lim_{n \to \0+}((sin x^3)/(x^k(log(1+x))))+(x^(k-2))$
Io con i limiti notevoli sono arrivata a $\lim_{n \to \0+}(x^2/x^k)+x^(k-2)$
Dunque ho studiato $k=2$ e mi viene $2$... penso... ma gli altri risultati non li saprei dare...dimenticavo---> $kin[0,+oo)$
Forse se $k>2$ va a $+oo$ mentre se $0
Come va risolta e quali risultati si ottiene?
$\lim_{x \to \0+}[((sin x^3)/(x^k(log(1+x))))+(x^(k-2))]$
che lo possiamo anche rendere come $\lim_{x \to \0+}[1/x^(k-2)+x^(k-2)]$ esattamente come hai osservato e notiamo subito una certa "simmetria" nell'argomento del limite.
Per $k>2$ e per $k<2$ viene $+oo$, invece per $k=2$ viene $2$.
che lo possiamo anche rendere come $\lim_{x \to \0+}[1/x^(k-2)+x^(k-2)]$ esattamente come hai osservato e notiamo subito una certa "simmetria" nell'argomento del limite.
Per $k>2$ e per $k<2$ viene $+oo$, invece per $k=2$ viene $2$.
Avevo paura che $+oo$ sia per $k>2$ e per $k<2$ fosse sbagliato... grazie per la conferma che in entrambi i casi è $+oo$!!!
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