Limite al variare del Parametro
Buongiorno a tutti,
Ho incontrato una difficoltà con questo esercizio, che come da titolo, mi sta chiedendo di studiare il limite al variare del Parametro:
$ $ lim_(x -> 0^-) (e^(e^(1/x))-1)x^alpha $ $
Prima di tutto ho notato che sostituendo avrò $ 0*0 =0 $ con $ alpha >0 $
invece con $ alpha <0 $ sto avendo dei problemi, perché avrei $ oo *0 $ quindi la forma indeterminata.
allora noto mi diventa cosi $ lim_(x -> 0^-) (e^(e^(1/x))-1)/x^alpha $
notando la presenza del limite notevole $ lim_(x -> 0^-) (e^(1/x))/x^alpha $
da io sapendo che $ e^(1/x) $ tende prima a 0 posso dire che il limite tende a 0?
Ci starebbe un modo per dimostrarlo?
Vi ringrazio in anticipo.
Ho incontrato una difficoltà con questo esercizio, che come da titolo, mi sta chiedendo di studiare il limite al variare del Parametro:
$ $ lim_(x -> 0^-) (e^(e^(1/x))-1)x^alpha $ $
Prima di tutto ho notato che sostituendo avrò $ 0*0 =0 $ con $ alpha >0 $
invece con $ alpha <0 $ sto avendo dei problemi, perché avrei $ oo *0 $ quindi la forma indeterminata.
allora noto mi diventa cosi $ lim_(x -> 0^-) (e^(e^(1/x))-1)/x^alpha $
notando la presenza del limite notevole $ lim_(x -> 0^-) (e^(1/x))/x^alpha $
da io sapendo che $ e^(1/x) $ tende prima a 0 posso dire che il limite tende a 0?
Ci starebbe un modo per dimostrarlo?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Tramite un cambiamento di variabili puoi ricondurti a calcolare $\lim_{y \to + \infty} e^{-y}y^{\alpha}$. Per verificare che questo limite è $0$, puoi scrivere $e^x = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \geq \frac{x^{[\alpha] +1}}{([\alpha]+1)!}$, per $x > 0$, ove $[\alpha]$ indica la parte intera di $\alpha$.
Ma allora, $$0 \leq e^{-y}y^{\alpha} \leq c \cdot y^{\alpha - [\alpha]-1} \overset{y \to +\infty}{\to} 0$$
essendo $\alpha - [\alpha]-1 < 0$
Ma allora, $$0 \leq e^{-y}y^{\alpha} \leq c \cdot y^{\alpha - [\alpha]-1} \overset{y \to +\infty}{\to} 0$$
essendo $\alpha - [\alpha]-1 < 0$
Grazie, scusami che teoremi hai utlizzato per dimostrarlo?
Ho semplicemente espresso l'esponenziale come serie di potenze. Questa può essere presa direttamente come definizione di esponenziale 
Dopodiché ho ottenuto quella minorazione e sono passato al limite.
Se avete definito l'esponenziale in maniera "elementare", si tratta di ottenere la stessa minorazione con altri mezzi. Basta mostrare cioè che $e^x \geq k \cdot x^{n}$, per ogni $x >0$ (va bene anche definitivamente), per $n$ fissato sufficientemente grande (ad esempio $n= [\alpha]+1$) e $k > 0$. Da questa infatti ottieni che $e^{-x} \leq \frac{1}{k} \cdot x^{-n}$.
Ottenere questa stima dall'espressione in serie di potenze è immediato, per questo ho usato quella. Senza usare la serie di potenze, invece, puoi dimostrare per induzione che $e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ per ogni $n$. Infatti, posto $f(x)= e^x$ e $g(x)=\frac{x^n}{n!}$, hai che:
$$f(0) - g(0) = 1 > 0$$
e che $$f'(x) - g'(x) = e^x - \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \geq 0$$
che è vero per l'ipotesi induttiva. Ma allora $$f(x) \geq g(x) \quad \forall x \geq 0$$
Rimane da mostrare il caso base dell'induzione ma è facile.
Alternativamente puoi dimostrare in maniera equivalente che $\frac{e^x}{x^{alpha}} \overset{x \to + \infty}{\to} +\infty$ usando De L'Hopital ricorsivamente.
Questi sono soltanto alcuni modi che mi sono venuti in mente, ma probabilmente ce ne sono anche altri
Dopodiché ho ottenuto quella minorazione e sono passato al limite.Se avete definito l'esponenziale in maniera "elementare", si tratta di ottenere la stessa minorazione con altri mezzi. Basta mostrare cioè che $e^x \geq k \cdot x^{n}$, per ogni $x >0$ (va bene anche definitivamente), per $n$ fissato sufficientemente grande (ad esempio $n= [\alpha]+1$) e $k > 0$. Da questa infatti ottieni che $e^{-x} \leq \frac{1}{k} \cdot x^{-n}$.
Ottenere questa stima dall'espressione in serie di potenze è immediato, per questo ho usato quella. Senza usare la serie di potenze, invece, puoi dimostrare per induzione che $e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ per ogni $n$. Infatti, posto $f(x)= e^x$ e $g(x)=\frac{x^n}{n!}$, hai che:
$$f(0) - g(0) = 1 > 0$$
e che $$f'(x) - g'(x) = e^x - \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \geq 0$$
che è vero per l'ipotesi induttiva. Ma allora $$f(x) \geq g(x) \quad \forall x \geq 0$$
Rimane da mostrare il caso base dell'induzione ma è facile.
Alternativamente puoi dimostrare in maniera equivalente che $\frac{e^x}{x^{alpha}} \overset{x \to + \infty}{\to} +\infty$ usando De L'Hopital ricorsivamente.
Questi sono soltanto alcuni modi che mi sono venuti in mente, ma probabilmente ce ne sono anche altri
Veramente molto esaustivo, complimenti e grazie per il lavoro che svolgi per noi poveri babbani
Ahah ma figurati! 
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