Limite a zero da destra
'Sera, c'è un esericio particolare sui limiti che non saprei come svolgere.
Studiare, con $alpha$ che varia ed è >0, il limite
$ lim_(x->0^+) (log(1+sen^2x)-tn^2x)/x^alpha $
Non sapendo come lo $0^+$ influenzi il limite dato che non li ho mai studiati da un solo lato, provo intanto a svilupparlo in serie di McLaurin.
Non so come decidere a che termine arrestarmi, il testo mostra $tnx$ e $senx$ sviluppati fino ad $o(x^4)$, e $ln(1+x)$ sviluppati fino a $o(x^2).$
Quindi elevando al quadrato ho che
$tn^2 x = (tn x)^2 = (x+x^3/3+o(x^4))^2 = x^2+2/3x^4+o(x^5)$
$sen^2 x = (sen x)^2 = (x-x^3/3+o(x^4))^2 = x^2-2/3x^4+o(x^5)$
$log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
Però a questo punto, se alla $x$ sostituisco lo svilupo di $sen^2x$, esce un calcolo abbastanza lungo con o piccoli di o piccoli uno nell'altro.. quindi sicuramente non considero qualcosa.
$log(1+sen^2x) = (x^2-2/3x^4+o(x^5))-1/2*(x^2-2/3x^4+o(x^5))^2+o(x^2-2/3x^4+o(x^5))^2$
Grazie.
Studiare, con $alpha$ che varia ed è >0, il limite
$ lim_(x->0^+) (log(1+sen^2x)-tn^2x)/x^alpha $
Non sapendo come lo $0^+$ influenzi il limite dato che non li ho mai studiati da un solo lato, provo intanto a svilupparlo in serie di McLaurin.
Non so come decidere a che termine arrestarmi, il testo mostra $tnx$ e $senx$ sviluppati fino ad $o(x^4)$, e $ln(1+x)$ sviluppati fino a $o(x^2).$
Quindi elevando al quadrato ho che
$tn^2 x = (tn x)^2 = (x+x^3/3+o(x^4))^2 = x^2+2/3x^4+o(x^5)$
$sen^2 x = (sen x)^2 = (x-x^3/3+o(x^4))^2 = x^2-2/3x^4+o(x^5)$
$log(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$
Però a questo punto, se alla $x$ sostituisco lo svilupo di $sen^2x$, esce un calcolo abbastanza lungo con o piccoli di o piccoli uno nell'altro.. quindi sicuramente non considero qualcosa.
$log(1+sen^2x) = (x^2-2/3x^4+o(x^5))-1/2*(x^2-2/3x^4+o(x^5))^2+o(x^2-2/3x^4+o(x^5))^2$
Grazie.
Risposte
Ciao Jaeger90,
Si trova che si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (log(1+sin^2x)-tan^2 x)/x^alpha = {(0 \qquad \text{ se } \alpha < 4),(- 3/2 \text{ se } \alpha = 4),(-\infty \text{ se } \alpha > 4):} $
Si trova che si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (log(1+sin^2x)-tan^2 x)/x^alpha = {(0 \qquad \text{ se } \alpha < 4),(- 3/2 \text{ se } \alpha = 4),(-\infty \text{ se } \alpha > 4):} $
"pilloeffe":
Ciao Jaeger90,
Si trova che si ha:
$\lim_{x \to 0^+} (log(1+sin^2x)-tan^2 x)/x^alpha = {(0 \qquad \text{ se } \alpha < 4),(- 3/2 \text{ se } \alpha = 4),(-\infty \text{ se } \alpha > 4):} $
Ciao.
Ma come hai fatto di preciso?
"Jaeger90":
Ma come hai fatto di preciso?
Magia nera...
Scherzo naturalmente... In realtà ho semplicemente fatto uso degli sviluppi in serie seguenti:
$ log(1+ sin^2x) = x^2 - 5/6 x^4 + o(x^5) $
$ tan^2 x = x^2 + 2/3 x^4 + o(x^5) $
Dato che entrambi gli sviluppi in serie contengono solo potenze pari della $x$ e facendone la differenza si ha cancellazione del termine $x^2 $ è chiaro che "The Manchurian Candidate" successivo è $x^4 $ che ha coefficiente $ - 5/6 - 2/3 = - 5/6 - 4/6 = - 9/6 = - 3/2 $
Dunque lo "spartiacque" è $\alpha = 4 $ e per tale valore di $\alpha $ si trova proprio $-3/2 $; per $\alpha < 4 $ prevale il termine $ - 3/2 x^4 $ sul denominatore e pertanto il limite proposto vale $0$, mentre per $\alpha > 4 $ prevale il denominatore sul termine $ - 3/2 x^4 $ e pertanto il limite proposto vale $ -\infty $
Okay perfetto, il ragionamento mi è chiaro.
Però non riesco ancora a riuscire nello sviluppo di $ log(1+ sin^2x) = x^2 - 5/6 x^4 + o(x^5) $
Infatti come ho scritto prima per farlo mi escono calcoli abbastanza lunghi. Forse c'è un metodo più veloce al posto di mettere quadrati di trinomi con o piccoli e o piccolo di o piccoli?
Però non riesco ancora a riuscire nello sviluppo di $ log(1+ sin^2x) = x^2 - 5/6 x^4 + o(x^5) $
Infatti come ho scritto prima per farlo mi escono calcoli abbastanza lunghi. Forse c'è un metodo più veloce al posto di mettere quadrati di trinomi con o piccoli e o piccolo di o piccoli?
Il modo veloce è stabilire il grado delle potenze, non devi effettivamente fare tutti i quadrati termine per termine...
$log(1+sin^2(x))$
Prima sviluppi il seno al quarto ordine, ora siccome $sin^2(x)$ significa scrivere $(sin(x))^2$ devi prima sviluppare il seno e poi farne il quadrato:
$(x-x^3/6+o(x^4))^2 + o((x-x^3/6+o(x^4))^2)$
Ora il conto sembra lungo da fare ma non lo è, perché a te interessano solo le potenze sino al grado $4$, quindi in pratica consideri solo il quadrato del primo termine ed il doppio prodotto, quindi diventa:
$x^2-x^4/3+o(x^4)$
Il tutto diventa quindi:
$log(1+(x^2-x^4/3+o(x^4)))$
Sviluppando come prima e tenendo conto che ciò che mi interessa sono le potenze di grado $4$:
$(x^2-x^4/3+o(x^4)) - (x^2-x^4/3+o(x^4))^2/2 + o((x^2-x^4/3+o(x^4))^2)$
$x^2-x^4/3-x^4/2+o(x^4)$
$x^2-5/6x^4+o(x^4)$
Qui ho fatto tutti i passaggi ma molti si potevano saltare tranquillamente, quindi effettivamente non sono calcoli lunghi
$log(1+sin^2(x))$
Prima sviluppi il seno al quarto ordine, ora siccome $sin^2(x)$ significa scrivere $(sin(x))^2$ devi prima sviluppare il seno e poi farne il quadrato:
$(x-x^3/6+o(x^4))^2 + o((x-x^3/6+o(x^4))^2)$
Ora il conto sembra lungo da fare ma non lo è, perché a te interessano solo le potenze sino al grado $4$, quindi in pratica consideri solo il quadrato del primo termine ed il doppio prodotto, quindi diventa:
$x^2-x^4/3+o(x^4)$
Il tutto diventa quindi:
$log(1+(x^2-x^4/3+o(x^4)))$
Sviluppando come prima e tenendo conto che ciò che mi interessa sono le potenze di grado $4$:
$(x^2-x^4/3+o(x^4)) - (x^2-x^4/3+o(x^4))^2/2 + o((x^2-x^4/3+o(x^4))^2)$
$x^2-x^4/3-x^4/2+o(x^4)$
$x^2-5/6x^4+o(x^4)$
Qui ho fatto tutti i passaggi ma molti si potevano saltare tranquillamente, quindi effettivamente non sono calcoli lunghi
"Obidream":
Ora il conto sembra lungo da fare ma non lo è, perché a te interessano solo le potenze sino al grado $4$
Mi è chiaro tutto tranne una cosa.
Da dove vedo che devo fermarmi negli sviluppi sempre nella potenza di grado 4?
"Jaeger90":
[quote="Obidream"]
Ora il conto sembra lungo da fare ma non lo è, perché a te interessano solo le potenze sino al grado $4$
Mi è chiaro tutto tranne una cosa.
Da dove vedo che devo fermarmi negli sviluppi sempre nella potenza di grado 4?[/quote]
Beh non credo ci sia un metodo vero e proprio, in questo caso se ti fermi al secondo ordine ti rimane $o(x^2)$, quindi semplicemente provi quello successivo
"Obidream":
[quote="Jaeger90"][quote="Obidream"]
Ora il conto sembra lungo da fare ma non lo è, perché a te interessano solo le potenze sino al grado $4$
Mi è chiaro tutto tranne una cosa.
Da dove vedo che devo fermarmi negli sviluppi sempre nella potenza di grado 4?[/quote]
Beh non credo ci sia un metodo vero e proprio, in questo caso se ti fermi al secondo ordine ti rimane $o(x^2)$, quindi semplicemente provi quello successivo[/quote]
Ma se tipo ho o piccoli di ordine diverso a numeratore e denominatore?
Devo per forza ridurre il termine con o piccolo più grande per rendere gli o piccoli uguali?
"Jaeger90":
Ma se tipo ho o piccoli di ordine diverso a numeratore e denominatore?
Devo per forza ridurre il termine con o piccolo più grande per rendere gli o piccoli uguali?
Ma no, ad esempio:
$lim_(x->0) log(1+x^2)/sin(x) = lim_(x->0) (x^2+o(x^2))/(x+o(x)) = 0$
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