Limite a pezzi

[miuemia]

ciao a tutti qualcuno saprebbe farmi alcuni esempi di calcolo di limiti in cui svolgendoli a pezzi ottengo un risultato sbagliato''?????

grazie a tutti

[Piera4]

Forse intendi una cosa di questo tipo:
$lim_(x->+infty)(sen^2x+cos^2x)=lim_(x->+infty)1=1$.
$lim_(x->+infty)sen^2x$ non esiste
$lim_(x->+infty)cos^2x$ non esiste

[miuemia]

no in questo senso
ad esempio

$lim(1+1/n)^{-n}$ che uno fa prima il limite fra parentesi e poi eleva all'esponente.
è più chiaro adesso???

[Sk_Anonymous]

Come ad esempio $lim_(x->+oo) x*(sqrt(x^2+1)-x)$? Se fatto a pezzi diventa $lim_(x->+oo) (sqrt(x^2+1)-x)=0$ e poi $lim_(x->+oo) x*0=lim_(x->+oo) 0=0$, mentre se calcolato tutto insieme viene $1/2$ ?

[miuemia]

come fa ad uscire $1/2$????

[Sk_Anonymous]

$lim_(x->+oo) x*(sqrt(x^2+1)-x)=lim_(x->+oo) x*(x^2+1-x^2)/(sqrt(x^2+1)+x)=lim_(x->+oo) x/(x*(sqrt(1/(x^2)+1)+1))=1/2$

[fabiola5]

io credo che sia un pò azzardato sia dire che il lim di x*0 sia izero,quando $x->infty$ che tirare fuori la x dalla radice senza un modulo....

[Sk_Anonymous]

"fabiola":io credo che sia un pò azzardato sia dire che il lim di x*0 sia izero,quando $x->infty$ che tirare fuori la x dalla radice senza un modulo....

1) il limite tende a $+oo$ quindi il modulo è inutile e viene semplicemente x.

2) miuemia chiedeva un limite in cui facendo i calcoli a pezzi, anzichè lavorando su tutto l'insieme, desse un risultato diverso da quello corretto
Ora credo che tu sia d'accordo sul fattp che in $RR$ valga la legge di annullamento del prodotto e che quindi $x*0=0"$
Il problema è che se ho una cosa che tende a 0 moltiplicata per una che tende a $oo$ allora ho una forma indeterminata. Ma se ho 0 (non una cosa che tende a 0, ma proprio 0 e lo moltiplico per x questo in ogni caso vale 0, se il limite lo calcolo dopo la moltiplicazione viene 0.
E' chiaro che procedere in questo modo è sbagliato, ma miuemia chiedeva proprio qualcosa che venisse chiaramente sbagliato per dimostrare che bisogna stare molto attenti quando si spezzano i limiti soprattutto se ci sono di mezzo zeri e infiniti.

[gugo82]

"fabiola":io credo che sia un pò azzardato sia dire che il lim di x*0 sia izero,quando $x->infty$ che tirare fuori la x dalla radice senza un modulo....

Amelia ha sbagliato i calcoli di proposito, però fa bene ricordare un paio di cose:

1) risulta $AAx in RR,quad x*0=0$, quindi $x*0$ non è una forma indeterminata in $+oo$ e risulta $lim_(xrarr +oo) x*0=0$ (lo stesso ragionamento ti dice che $x*1/x$ non è una forma indeterminata in $+oo$ e che $lim_(xrarr +oo)x*1/x=1$);

2) tirare fuori $x$ dalla radice senza modulo non è azzardato: infatti il calcolo del limite proposto da Amelia si fa ragionando in un intorno di $+oo$ e nessuno ci vieta di prendere tale intorno contenuto in $]0,+oo[$.

Proprio per evitare questo tipo di equivoci sarebbe preferibile svolgere tutti i passaggi delle semplificazioni "fuori dal limite", specificando che si considerano i valori della variabile in un particolare intorno del p.d.a. in cui si deve calcolare il limite.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":[quote="fabiola"]io credo che sia un pò azzardato sia dire che il lim di x*0 sia izero,quando $x->infty$ che tirare fuori la x dalla radice senza un modulo....

Amelia ha sbagliato i calcoli di proposito[/quote]

grazie "gugo82"
Vedo che hai capito perfettamente quello che volevo dire

[gugo82]

"amelia":[quote="gugo82"][quote="fabiola"]io credo che sia un pò azzardato sia dire che il lim di x*0 sia izero,quando $x->infty$ che tirare fuori la x dalla radice senza un modulo....

Amelia ha sbagliato i calcoli di proposito[/quote]

grazie "gugo82"
Vedo che hai capito perfettamente quello che volevo dire[/quote]

Prego Amelia ...

Lo "82" potete pure sopprimerlo: preferirei che mi chiamaste semplicemente Gugo, come fanno i miei amici.