Limite a +inf

[sine nomine1]

Ciao, ho qualche problema con questo limite:
$ lim_(n -> oo ) (n-sqrt(n^2-1))ln(6^n+sqrt(4^(3n)+2)) $
Ho provato a vederlo come il prodotto dei limiti delle due funzioni, ma dopo aver razionalizzato la prima parte mi trovo di fronte a una forma indeterminata del tipo 0* $ oo $ . Un aiutino?
Grazie.

[sandroroma]

=$lim_{n->oo} ln[6^n(1+sqrt{(2/3)^{2n}+2/{6^{2n}}))]/ {n(1+sqrt{1-1/{n^2}})} =lim_{n->oo}[nln6+ln(1+sqrt{(2/3)^{2n}+2/{6^{2n}}))] / {n(1+sqrt{1-1/{n^2}})}=$
$=lim_{n->oo}[ {nln6}/ {n(1+sqrt{1-1/{n^2}})}+ln(1+sqrt{(2/3)^{2n}+2/{6^{2n}}))/ {n(1+sqrt{1-1/{n^2}})}]=1/2ln6+0=ln sqrt 6$

[Ziben]

Secondo me c'è un errorino:
$6^n+sqrt(4^(3n)+2) = 6^n+sqrt((2^2)^(3n)(1+1/(4^(3n)))) = 6^n + 2^(3n)sqrt(1+1/(4^(3n))) = 6^n+8^nsqrt(1+1/(4^(3n)))$
Per cui va raccolto $8^n$
Concordate?

[sandroroma]

Concordo...
Il fatto è che ho preso quel $4^{3n}$ per $4^{2n} $
L'impianto complessivo, con le opportune correzioni, dovrebbe comunque essere ancora valido.

[sine nomine1]

"sandroroma":Concordo...
Il fatto è che ho preso quel $4^{3n}$ per $4^{2n} $
L'impianto complessivo, con le opportune correzioni, dovrebbe comunque essere ancora valido.

Grazie a entrambi per le risposte, però ho ancora un dubbio: ho finito il limite correggendo l'errore e mi viene il risultato corretto (che, per chi fosse interessato, è $ 3/2ln(2) $ ), ma l'ho fatto prendendo per buono il primo passaggio che hai fatto senza averlo capito . All'inizio nella prima metà del limite hai "tirato fuori" una n dalla radice e poi l'hai raccolta, ma per quale regola si può portare tutto a denominatore? Perchè io ho fatto così:

$ n-sqrt(n^2-1) = n-nsqrt(1-1/n^2)= n(1-sqrt(1-1/n^2)) $

ora, moltiplicare questo per la seconda parte non equivale a dividere la seconda parte per l'inverso di quello che ho appena scritto? Perchè nel tuo porti a dividere trasformando la differenza dentro la parentesi in una somma?

[Ziben]

Sandroroma ha razionalizzato:
$n-sqrt(n^2-1)*(n+sqrt(n^2-1))/(n+sqrt(n^2-1)) = (n^2-n^2+1)/(n+sqrt(n^2-1))$