Limite a due variabili

[Godjackal]

Ciao a tutti,
ho un dubbio su questo limite e spero mi possiate aiutare:

$lim_("||(x,y)||" -> +oo) e^x(2x^2 -xy +y^2) $

Quello che non mi è chiaro è: $"||(x,y)||"$, infatti la simbologia del doppio "pipe" in genere dovrebbe indicare la norma della funzione ma in questo caso come si applica al limite?

Dimostrare che il sudetto limite non esiste se non ci fosse la norma sarebbe piuttosto semplice:

$lim_((x,y) -> +oo) e^x(2x^2 -xy +y^2) $

Infatti usando la tecnica delle restrizioni e calcolando il limite nella direzione di $(x,x)$ e poi $(-x,x)$ si ha:

$lim_((x,x) -> +oo) 2x^2e^x = +oo$

$lim_((-x,x) -> +oo) (4x^2)/e^x = 0 $ perché $e^x$ è un infinito di ordine superiore a $x^2$.

Quindi, osservando che in diverse direzioni della funzione il limite non è univoco si può affermare che questo limite non esiste.

Ma considerando la norma della funzione (se di questa stiamo parlando), come si potrebbe procedere?

Grazie anticipatamente,

Saluti

[Godjackal]

Ciao TeM,
ti premetto che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua
Dunque passando in coordinate polari si ottiene:

$lim_(sqrt(x^2 + y^2)-> +oo) e^x(x^2 -xy +y^2) = lim_( р-> +oo) p^2e^(р*cos(б))(1 - cos(б)sin(б)) =$
$= lim_( р-> +oo) p^2e^(р*cos(б)) - p^2e^(р*cos(б))cos(б)sin(б)$

possiamo supporre:

$p^2e^(р*|cos(б)|)|cos(б)sin(б)| <= p^2e^(р)$

quindi:

$lim_( р-> +oo) p^2e^(р) - p^2e^(р) = 0?$

Suppongo di aver fatto qualche boiata, perché se il seguente ragionamento fosse valido mi uscirebbero due risultati totalmente opposti:

$lim_("||(x,0)||"-> +oo) e^x(x^2 -xy +y^2) = lim_(sqrt(x^2 + 0^2)-> +oo) e^x(x^2 -xy +y^2) = $
$= lim_(x-> +oo) e^x(x^2) = +oo$

e

$lim_("||(-x,0)||"-> +oo) e^x(x^2 -xy +y^2) = lim_(sqrt((-x)^2 + 0^2)-> +oo) e^x(x^2 -xy +y^2) = $
$= lim_(-x-> +oo) (x^2)/e^x = 0$

Che dici, ho fatto un po' di confusione?

Saluti

[Godjackal]

Che errore stupido che ho fatto...
La versione corretta sarebbe quella con il $2x^2$ che ahimè ho dimenticato di riportare nello svolgimento...
Ora è più chiaro, ma ci tenevo a capire ciò che non va con questa maggiorazione:
$p^2e^(p*|cos(б)|)|cos(б)sin(б)|<=p^2e^p$


Inoltre il secondo metodo che ho utilizzato per svolgere l'esercizio può essere ritenuto corretto?
Grazie della disponibilità TeM,

Saluti

[Godjackal]

"TeM": Partiamo dalla maggiorazione...
...è proprio sbagliata, in quanto stiamo studiando
un limite per $\rho \to +\infty$ e non per $\rho \to 0$ !

Altro errore madornale che non ho proprio tenuto in considerazione...

Credo d'aver chiarito tutto ormai, grazie dell'aiuto TeM sei stato gentilissimo! Buona serata!

Saluti

*Edit*

Rettifico, sulla piattaforma dell'università ho trovato questo esempio svolto:

$lim_("|(x,y)|" -> +oo) e^-(x^2+y^2)x$

Soluzione:


A quanto pare utilizza una maggiorazione nonostante il limite per $p->+oo$.
Dunque potrebbe essere inesatta la soluzione proposta?

[Godjackal]

Direi di sì, grazie infinite

Saluti