Limite a due variabili

[cappellaiomatto1]

sono alle prime armi con questo tipo di limiti a due variabili e devo verificare che
$ lim_((x,y) -> (1,1)) ((x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2)/(x^2+3y^2-2(x+3y-2)) =-1$

so che il denominatore puo' essere espresso nella forma $(x-1)^2+3(y-1)^2$,quindi

$|((x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2)/(x^2+3y^2-2(x+3y-2))-1|=|((x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2)/((x-1)^2+3(y-1)^2)-1|=|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|$
poi applico la maggiorazione
$|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|<=|((x-1)^3[(x-1)^2+3(y-1)^2])/((x-1)^2+3(y-1)^2)|=|x-1|^3$

e poi non so come concludere perchè se tengo presente che

$|x-1|^3=|x-1|(x-1)^2<=|x-1|[(x-1)^2+(y-1)^2]$ non è un adeguato intorno di $1$...

[Hadronen]

Farei così, ponendo:

$u = x-1$ ; $v = y-1$

$=> lim_((x,y)\to(0,0)) (u^5-u^2-3v^2)/((u+1)^2+3(v+1)^2-2((u+1)+3(v+1)-2)) = $

$ lim_((x,y)\to(0,0)) (u^2(u^3-1)-3v^2)/(u^2+3v^2) $ ...

... e da qui puoi accorgerti facilmente che il limite e' $-1$ .

Se non è così immediato, passa alle coordinate polari... Ponendo: $\rho = x$ ; $\theta = y$ .

[cappellaiomatto1]

ho capito grazie!
quindi pensi che non ci sia modo di stimare la quantità $|x-1|^3$?

[Hadronen]

Prima volevo ovviamente dire: "Ponendo: $\rho = u$ ; $\theta = v$ ."

In che senso stimare $|x-1|^3$ ? Non capisco il tuo ragionamento...

[cappellaiomatto1]

sarebbe a dire trovare un $delta$ tale che
$|(x-1)^3|<=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2) con $|f(x,y)+1|

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[Hadronen]

"cappellaiomatto":sarebbe a dire trovare un $delta$ tale che
$|(x-1)^3|<=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2) con $|f(x,y)+1|

Continuo a non capire. Vuoi applicare la definizione di limite... Ma cosa c'entra $|(x-1)^3|$ ? Ti sembra un intorno in $RR^2$ ?

[cappellaiomatto1]

era quello il problema,che non è un intorno,la tecnica che ho usato finora per risolvere questi limiti è quella di applicare la definizione,prendere la funzione e manipolarla e maggiorarla opportunamente in modo da arrivare ad un intorno e stabilire un delta che va bene per ogni epsilon,cosa che con la funzione in questione ho fallito a fare e forse non si puo' fare a questo punto...

[Brancaleone1]

Ehm, mi sembra un po' complicato in questa maniera... posso suggerire questo procedimento?

http://www.matematicamente.it/forum/limite-funzione-di-2-variabili-t99798.html

Provando a calcolare ho verificato il $-1$ richiesto.

[cappellaiomatto1]

vi ringrazio per le risposte,sto iniziando adesso ad applicare le coordinate polari a questo tipo di esercizi.
Comunque penso di averlo risolto senza e forse non era tanto difficile,ditemi che ve ne pare

ripercorrendo l'esercizio,attraverso l'uso della definizione, una volta arrivato a $|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|$
nulla mi impedisce di maggiorare con
$|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|<=|((x-1)^2[(x-1)^3+3(y-1)^3])/((x-1)^3+3(y-1)^3)|=(x-1)^2$

a questo punto $(x-1)^2<=(x-1)^2+(y-1)^2$
e basta scegliere un $delta=sqrt(epsilon)$
ed $|f(x,y)+1|0$

[Hadronen]

"cappellaiomatto":
nulla mi impedisce di maggiorare con
$|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|<=|((x-1)^2[(x-1)^3+3(y-1)^3])/((x-1)^3+3(y-1)^3)|=(x-1)^2$

Bhe non e' che sia così tanto valida questa maggiorazione, non per ogni coppia $(x,y)$ insomma...

Ti anticipo che non potro' risponderti celermente, sono in viaggio.

[Brancaleone1]

"cappellaiomatto":
ripercorrendo l'esercizio,attraverso l'uso della definizione, una volta arrivato a $|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|$
nulla mi impedisce di maggiorare con
$|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|<=|((x-1)^2[(x-1)^3+3(y-1)^3])/((x-1)^3+3(y-1)^3)|=(x-1)^2$

...non ne sono molto convinto.

[cappellaiomatto1]

neanche in un intorno di $1$?...

[cappellaiomatto1]

già,l'ho sparata grossa grr

[Brancaleone1]

Non spaccarti la testa con la definizione
Usa le coordinate polari, è più facile:

$\lim_((x,y) \to (1,1)) ((x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2)/(x^2+3y^2-2(x+3y-2)) =$

$=\lim_{\rho \to 0^+} {(1+\rho \cos \theta - 1)^5-(1+\rho \cos \theta -1)^2-3(1+\rho \sin \theta -1)^2 }/{(1+\rho \cos \theta)^2+3(1+\rho \sin \theta)^2-2(1+\rho \cos \theta +3(1+\rho \sin \theta)-2)}=$

$={(\rho \cos \theta)^5-(\rho \cos \theta)^2-3(\rho \sin \theta)^2 }/{1+\rho^2 \cos^2 \theta+2\rho \cos \theta+3+3\rho^2 \sin^2 \theta+6 \rho \sin \theta-2-2\rho \cos \theta -6-6\rho \sin \theta+4} \le$

$\le {\rho^5-\rho^2 \cos^2 \theta-3\rho^2 \sin^2 \theta}/{\rho^2 \cos^2 \theta+3\rho^2 \sin^2 \theta}={\rho^2(\rho^3-(\cos^2 \theta+3\sin^2 \theta))}/{\rho^2 (\cos^2 \theta+3 \sin^2 \theta)}={\rho^3-(\cos^2 \theta+3\sin^2 \theta)}/{\cos^2 \theta+3 \sin^2 \theta}$

$Rightarrow \lim_{\rho \to 0^+} {\rho^3-(\cos^2 \theta+3\sin^2 \theta)}/{\cos^2 \theta+3 \sin^2 \theta}={-(\cos^2 \theta+3\sin^2 \theta)}/{\cos^2 \theta+3 \sin^2 \theta}=-1$

Con la maggiorazione tra la terza e quarta riga ho solo tolto $\cos^5 \theta$ al primo termine del numeratore, il denominatore si è semplificato da solo