Limite a due variabili

[son Goku1]

sia $f:RR^2toRR$ t.c $f(\theta\,gamma)=\theta^gamma$

quanto fa $lim_{\theta\toinfty,gammato0} f$? e come si risolve?

[Sk_Anonymous]

Credo che il quesito, posto così, non ammetta risposta univoca…

Riscriviamo per prima cosa la funzione nel modo seguente…

$f(theta,gamma)=theta^gamma=e^(gamma*ln(theta))$ (1)

Si vuol determinare il…

$lim_(theta->+oo,gamma->0) f(theta,gamma)$ (2)

Il problema è che, se $theta$ e $gamma$ tendono a $+oo$ e $0$ indipendentemente fra loro il limite (2) non è possibile determinarlo. Viceversa, se le due variabili sono tra loro in qualche modo dipendenti, allora è possibile dare risposta. Supponiamo per esempio sia…

$theta=1/gamma$ (3)

… per cui il limite (2) diviene…

$lim_(gamma->0) e^(-gamma*ln gamma)= 1$ (4)

Questo però è un caso particolare. Ponendo per esempio…

$theta=e^(-1/gamma)$ (5)

… si ha…

$lim_(gamma->0) e^(gamma*(-1/gamma))= 1/e$ (6)

cordiali saluti

lupo grigio




An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[son Goku1]

ti ringrazio per la risposta lupo grigio, sei stato molto chiaro. un'ultima cosa su cui nn sono molto sicuro: quindi se disegno la funzione su di un grafico 3D quel limite varia a seconda della direzione con cui mi sposto verso infinito nel piano $(\theta,gamma)$, (il che significherebbe rendere dipendenti le due variabili)?

[Sk_Anonymous]

Si, diciamo che è così... Sul piano $(theta,gamma)$ le curve di cui parli sono tutte asintotiche all'asse $theta$. A seconda di quella che scegli, il limite della funzione per $theta->+oo$ sarà differente...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature